Приведение системы сил к простейшей системе

Пусть на тело действует система сил .

Приведем систему сил к заданному центру (докажем теорему Пуансо). Выберем произвольную точку О за точку приведения. Рассмотрим одну из сил системы – F₁. Добавим в точке О нулевую систему сил – (F₁',F₂"). Заметим, что силы (F₁,F₁") представляют пару сил, которую можно заменить вектором момента пары M₀(F₁), приложенным в точке О (он же равен моменту силы F₁ относительно центра О), т.е. исходная сила эквивалентна силе F₁' и вектору момента пары, обе приложены в точке О.

Проведя аналогичную операцию со всеми векторами исходной системы сил мы получим два пучка векторов, приложенных в точке О – пучок сил и пучок векторов моментов , которые приводятся к эквивалентной системе двух векторов:

Главным вектором системы сил называют вектор, равный векторной сумме этих сил (вектор равнодействующей R).

Главным моментом системы сил относительно точки О тела называют сумму векторных моментов всех сил системы относительно этой точки (вектор момента результирующей пары М₀). Вектор М₀ зависит от точки приведения О.

Условия равновесия систем сил Пространственная система сил

Если система сил находится в равновесии, то в равновесии находится и эквивалентная ей система, состоящая из равнодействующей и результирующего момента пары. Чтобы такая система сил была эквивалентна нулю, необходимо и достаточно, чтобы

(для любой точки О)

Эти условия являются векторными условиями равновесия для любой системы сил. В аналитической форме это эквивалентно R_x=R_y=R_z=0; M_x=M_y=M_z=0, т.е. в самом общем случае имеем шесть скалярных уравнений равновесия.

Пространственная система параллельных сил

 Oz, т.е. 

M_z тождественно равно нулю,

Имеем в итоге три уравнения:

Плоская система сил

После отбрасывания тождеств

имеем три уравнения

(для любой точки)

Для плоской системы параллельных сил имеем два уравнения равновесия:

(для любой точки)

Теорема о моменте равнодействующей силы (теорема Вариньона)

Пусто система сил не находится в равновесии и может быть приведена к равнодействующей .

Добавим к этой системе сил , тогда

Эта новая система сил, эквивалентная нулю, удовлетворяет условиям равновесия системы сил и, в частности, условию равенства нулю суммы векторных моментов сил относительно любой точки:

Т.к. , то имеем теорему Вариньона

Это справедливо и в любых проекциях, например , т.е. для плоской системы сил имеем теорему Вариньона в алгебраических моментах

Различные формы условий равновесия плоской системы сил:

1. Ранее приведенная

2. Эквивалентная ей система уравнений равновесия

для любых трех точек, не лежащих на одной прямой.

3. Также эквивалентная первой система

для любых точек А и В, если ось х не перпендикулярна отрезку АВ.

Для равновесия плоской системы параллельных сил имеем альтернативную форму условий равновесия для любых точек А и В:

Статически определимые и неопределимые задачи

Для любой системы сил для разрешимости задач необходимо, чтобы число неизвестных сил не превышало максимального числа возможных уравнений равновесия. Такие задачи называют статически определимыми. В противном случае задача статически неопределима в рамках моделей твердых тел.