Основные понятия аналитической механики

Силы, приложенные к точкам системы, обычно классифицируют двумя способами.

По первому способу, совокупность всех сил, приложенных к точкам материальной системы, разделяют на внутренние и внешние силы. Внутренними силами ( ) называют силы взаимодействия между точками, образующими материальную систему. Внешними силами ( ) называют силы, возникающие благодаря воздействию на точки системы других материальных точек, не входящих в эту систему.

В соответствии со вторым способом классификации, совокупность всех сил, приложенных к точкам материальной системы, разделяют на активные и пассивные силы. Силы, которые создают или способны создавать движение твердого тела, называются активными силами. Силы, не создающие движение, но ограничивающие перемещения твердого тела (например, реакции опор) относятся к пассивным силам.

Отметим, что деление системы сил на внутренние и внешние силы и на активные и пассивные силы не взаимосвязаны.

Для задач, связанных с механикой деформируемого твердого тела используют первую классификацию: делят совокупность приложенных к точкам материальной системы сил на внутренние и внешние.

В аналитической механике эффект действия силы на тело определяется бесконечно малыми перемещениями тела, допускаемые наложенными связями.

Т ак, для груза, расположенного на наклонной плоскости, таким перемещением (допускаемым связью) будет перемещение - движение груза вдоль наклонной плоскости.

В классической механике Ньютона применялась аксиома связей, в соответствии с которой эффект влияния связи учитывался мысленным освобождением тела от наклонной поверхности, а ее действие на тело заменялась силой N - реакцией связи.

В аналитической механике эффект действия связи определяется возможными перемещениями точек.

Возможным перемещением точки называется такое бесконечно малое (элементарное) мысленное перемещение, которое допускается в рассматриваемый момент времени наложенными на точку связями.

Таким образом, возможные перемещения - это перемещения, допускаемые связями. Для каждого возможного положения системы в момент времени t существует бесчисленное множество возможных перемещений. Обозначать возможные перемещения будем символом δ.

Действительным перемещением точки называется бесконечно малое перемещение под действием внешних сил в соответствии с законом движения и уравнением связи. Обозначать действительные перемещения будем символом d, например, на рисунке.

При действительном движении системы в момент времени t реализуется одно из возможных перемещений. Для груза, расположенного на наклонной плоскости (рис. 4), действительное и возможное перемещения совпадают, т.е. dS=δS.

В общем случае система может иметь несколько или бесконечно много возможных перемещений. Вследствие уравнений связей, наложенных на систему, не все возможные перемещения являются независимыми.

Число независимых возможных перемещений называют числом степеней свободы системы.

Рассмотрим пример материальной точки. Материальная точка имеет одну степень свободы, если она может перемещаться только вдоль некоторой прямой или кривой; две степени свободы, если она принуждена остаться в плоскости или на заданной поверхности. Материальная точка, свободно движущаяся в пространстве, имеет три степени свободы.

Две материальные точки, связанные между собой невесомым жестким стержнем, имеют пять степеней свободы, т.к. первую точку можно считать свободной, тогда как вторая должна находиться на шаровой поверхности, описанной вокруг первой точки радиусом, равным длине стержня.

В случае N материальных точек, на координаты которых наложено r уравнений связи, число степеней свободы K вычисляется

К = ЗN-r.

При бесконечном множестве материальных точек, связанных бесконечным множеством уравнений связи, подсчет числа степеней свободы невыполним. Как нужно поступать в таких случаях, рассмотрим на примере твердого тела.

Р ассмотрим свободно движущееся абсолютно твердое тело в плоскости. Выберем любую точку тела, например точку А(х_А, у_А... Эту точку назовем полюсом. Положение полюса А определяется двумя числами - координатами. Однозначно определить положение тела по координатам одного полюса нельзя, поскольку тело может вращаться вокруг этого полюса. Следовательно, нужно определить еще одну точку, например точку В(х_В, у_в). Тогда, положение тела будет определяться четырьмя числами, координатами полюса А и точки В - (x_а, у_А, у_в, х_в).

Расстояние между полюсом А и точкой В (отрезок АВ) величина постоянная для абсолют но твердого тела и теорема Пифагора связывает координаты этих точек между собой. Поэтому эти координаты не свободны, а на них наложена одна стационарная голономная связь, уравнение которой имеет вид

(х_в-х_А)²+(у_в-у_А)²=АВ².

Вычислим число независимых параметров, определяющих положение тела в плоскости: К= 4 - 1 = 3. Получили, что твердое тело в плоскости имеет три степени свободы. В пространстве твердое тело имеет шесть степеней свободы.

Число независимых параметров равно числу степеней свободы системы. Каждая новая связь будет на единицу уменьшать число степеней свободы, следовательно, и число независимых параметров, определяющих положение системы. Независимые параметры, которые полностью определяют положение системы в пространстве, называют обобщенными координатами.

Независимые между собой параметры {координаты), число которых равно числу степеней свободы системы и которые однозначно определяют ее положение, называют обобщенными координатами системы (в общем виде их обозначают буквой q_i ).

Эти обобщенные координаты имеют вполне определенный геометрический смысл. Они вообще могут отличаться от декартовых координат, но могут также и включать в свое число одну или не­сколько декартовых координат. Например, твердое тело в плоскости имеет три степени свободы и его положение можно описывать следующими тремя обобщенными координатами: q₁=x_А,,q₂ = у_А , q₃ =φ, здесь угол φ - угол, который составляет отрезок АВ с осью Ох. В качестве обобщенных координат можно выбрать параметры, имеющие разные размерности.

Отметим, что голономные системы характеризуются тем, что для них число степеней свободы всегда равно числу независимых параметров, необходимых для определения положения системы.

ЭЛЕМЕНТАРНАЯ РАБОТА СИЛЫ НА ВОЗМОЖНОМ ПЕРЕМЕЩЕНИИ

Работа внешних сил

Элементарную работу силы на возможном перемещении ее точки приложения вычисляют по обычным формулам. Напомним некоторые из них.

Пусть сила - равнодействующая всех сил, приложенных непосредственно к материальной точке Р, а смещение точки Р по ее траектории Р₁Р₂. Элементарной работой силы Р на перемещении называется скалярное произведение

.

Выражение для элементарной работы, записанное аналитически, имеет вид

dА=F_хdх+F_уdу+F_гdz .

Элементарная работа является скалярной величиной. Если α -угол между вектором силы и вектором направлением перемещения точки Р, то выражение для элементарной работы можно представить в виде

,

где F_r=Fсоsα - проекция силы на направление перемещения точки (или на направление вектора скорости). Следовательно, если угол а острый, т.е. 0 < α < 90°, то dА. > 0; если α = 90°, то dА = 0; если угол а тупой, т.е. 90 °< α< 180°, то dА. < 0.

Перемещение dr связано со скоростью соотношением: dr = Vdt. Тогда выражение (3.2) будет иметь вид

dА = F_r Vdt. .

Элементарная работа всех сил системы получается путем суммирования выражений для всех N сил

.

Получим формулы для вычисления элементарной работы силы, приложенной к какой-либо точке твердого тела. Последовательно рассмотрим простейшие виды движения твердого тела в плоскости: поступательное, вращательное. Затем рассмотрим общий случай движения тела в плоскости - плоское движение тела.

П оступательное движение твердого тела. При поступательном движении твердого тела все точки тела имеют одинаковые по модулю и направлению перемещения и, следовательно, скорости. Тогда, если сила приложена к точке M_k , то

.

Следовательно,

,

з десь - радиус-вектор произвольной точки твердого тела.

Таким образом, элементарная работа силы, приложенной к ка­кой-либо точке тела, движущегося поступательно, равна скалярному произведению вектора силы на вектор перемещения точки приложения силы.

Вращение твердого тела в плоскости относительно неподвижногоцентра.

При вращении твердого тела вокруг неподвижного центра в плоскости, скорость точки приложения силы вычисляется по формуле V_M =ωh_M, где h_м - кратчайшее расстояние между точкой М и центром вращения (радиус вращения точки М), причем . Тогда элементарную работу силы определим по формуле

,

здесь - вращающий момент, ωdt=dφ.

Итак, получили, что работа сил, приложенных к вращающемуся телу, равна

dА = М₀dφ

Таким образом, элементарная работа силы, приложенной к какой-либо точке тела, вращающегося вокруг неподвижного центра в плоскости, равна произведению вращающегося момента на элементарный угол поворота тела.

В ращение тела вокруг неподвижной оси. При вращении тела вокруг неподвижной оси скорость точки М можно вычис­лить по векторной формуле Эйлера

.

Тогда элементарную работу силы опреде­лим по формуле

.

В смешанном векторном произведении, которое выражается в виде определителя, можно переставлять сомножители в круговом порядке, т.е.

.

Тогда

,

т.к. является моментом силы относительно точки О. Учитывая, что , выражение (б) можно переписать следующим образом:

,

здесь: - момент силы относительно оси вращения oz; ωdt=dφ. Окончательно получаем

dА = М_zdφ .

Таким образом, элементарная работа силы, приложенной к какой-либо точке тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, равна произведению момента силы относительно оси вращения на элементарный угол поворота тела.

Замечание. Связи системы называются идеальными, если сумма элементарных работ реакций этих связей на любых возможных перемещениях всегда равна нулю.

Например, абсолютно гладкая поверхность является идеальной связью для точки. Возможные перемещения точки направлены по касательной к поверхности, а силы реакции в этом случае направлены по нормали к ним, т.е. перпендикулярны перемещениям, следовательно, элементарная работа силы реакции N на перемещении равна нулю.

Лекция 17 (аналитическая механика)

«Принцип возможных перемещений, Общее уравнение динамики.

Уравнение Лагранжа 2-го рода»

Принцип возможных перемещений (элементы аналитической статики)

Механической системой называется множество материальных точек, выделенных для изучения и объединенных по некоторому принципу (Солнечная система, механические устройства и механизмы).

Точки системы могут иметь те или иные стеснения своих движений, называемых связями.

1Свободная точка, не имеющая связей, имеет три степени свободы, т.е. для описания ее положения необходимо задать три параметра x(t), y(t), z(t).

3. На свободную точка наложена одна связь – мы удерживаем ее с помощью невесомого стержня длины R. Один конец стержня шарнирно закреплен в точке О. В этом случае координаты точки обязаны подчиняться уравнению x² + y² + z²=R и мы говорим, что на точку наложена стационарная удерживающая связь, у нее осталось две степени свободы (точка может находиться на поверхности сферы радиуса R и ее положение можно описать с помощью двух параметров, например двух углов).

В общем случае мы имеем механическую систему из n точек, каждая точка имеет три степени свободы, а вся механическая система, если на нее не наложено никаких связей, имеет 3n степеней свободы.

Ограничения на движение точек системы (связи) заданы независимыми между собой уравнениями:

f_j(x₁,y₁,z₁…..x_n,y_n,z_n) = 0 ( j = 1,2….s )

Если число связей s равно 3n, то эти уравнения определяют 3n координат, система может иметь одно или несколько определенных положений и перемещаться не будет. Для возможности перемещения системы должно выполняться условие k = 3n – s > 0. Число k называют числом степеней свободы системы.

Пусть к материальной точке М приложена сила F. Предположим, что точке М сообщено некоторое бесконечно малое не противоречащее уравнениям связей перемещение . Это перемещение назовем возможным в отличие от действительного , которое точка совершает на самом деле под действием приложенных сил.

Элементарной работой силы F на возможном перемещении называют величину

У нас есть система точек M_i с координатами (x_i,y_i,z_i) и действующие на них силы (i=1,2…n). Точки системы стеснены некоторыми связями. По аксиоме о связях их действие можно заменить действием сил реакций (i=1,2…n). То есть, добавив к силам F_i все реакции R_i систему точек можно мыслить свободной от связей, вызывающих реакции R_i.

Определение. Идеальными называются связи, работа сил реакций (i=1,2…n) которых на любых возможных при этих связях перемещениях равна нулю, то есть

Сформулируем основной принцип аналитической статики для систем с идеальными удерживающими стационарными связями. Система точек находится в состоянии равновесия, значит сумма проекций сил на все оси декартовой системы координат должны быть равны нулю:

F_ix+R_ix=0; F_iy+R_iy=0; F_iz+R_iz=0; (I=1,2…n)

Отсюда мы можем определить R_ix,R_iy,R_iz и подставив в уравнение определения для идеальных связей получить выражение:

справедливое для произвольных возможных перемещений в положении равновесия рассматриваемой механической системы. Это и есть необходимое и достаточное условие равновесия механической системы, которое называется принципом возможных перемещений. Принцип возможных перемещений может быть взят за основу всех положений статики взамен набора аксиом, которые мы использовали с самого начала для вывода наших результатов.

Пример 1. Рассмотрим полиспаст, одно из простейших механических устройств, которое давно известно человечеству, как и устройства вроде рычага и клина.

С точки зрения аналитической статики полиспаст представляет собой механическую систему, состоящую из двух точек 1 и 2, к которым приложены силы P и Q, все прочее относится к реализации связи между этими двумя точками.

Для нашего случая принцип возможных перемещений записывается так:

Pp + Qq = 0,

Здесь p и q – возможные перемещения точек 1 и 2, которые не являются независимыми. Легко установить соотношение p = -6 q и после подстановки в вышеприведенную формулу получить:

P = Q/6.

Это означает, что с помощью приведенной на рисунке конструкции полиспаста для удержания в равновесии груза весом Q необходимо приложить в 6 раз меньшую силу P.

П ример 2. Рассмотрим гибкую однородную тонкую тяжелую нить, закрепленную в точках A и B, длина нити – l

l² > x²_B + y²_B

Нить нерастяжимая, ds вдоль длины нити не меняется.

f  dx² + dy² + dz² – ds² = 0

Рассматриваем плоский случай параллельных сил тяжести: dx² + dy² – ds² = 0