Принцип возможных перемещений

Положением равновесия называется такое положение системы, в котором система будет находиться все время, если в начальный момент времени она находилась в этом положении, и скорости всех ее точек были равны нулю.

Положение системы будет положением равновесия в том случае, когда в этом положении системы

.

Это равенство выражает принцип возможных перемещений:

для того, чтобы стационарная механическая система с идеальными конечными связями находилась в положении равновесия, необходимо и достаточно, чтобы в этом положении сумма элементарных работ внешних сил на любых возможных перемещениях системы равнялась нулю.

Принцип возможных перемещений был известен со времен Архимеда под названием «золотого правила механики» и применялся к простейшим механизмам. Рассмотрим в качестве примера рычаг Архимеда Рычаг имеет одну степень свободы - может вращаться вокруг точки О. Равновесие имеет место, когда элементарная работа при повороте рычага на элементарный угол δφ равна нулю.

Общее уравнение динамики

Общее уравнение динамики относится к уникальному методу исследования задач динамики механических систем.

Рассмотрим голономную систему N материальных точек, подчиненную идеальным связям. Каждая точка системы движется согласно основному закону динамики

где т_k - масса k-ой точки системы, - ее ускорение, - равнодействующая внешних сил, приложенных к k-ой точке (k = 1,2,...,N).

Если ввести силу инерции , то основной закон динамики можно записать в форме равновесия сил

,

или

. (k = l,2,...,N)

Полученное выражение соответствует принципу Д'Аламбера: совокупность всех внешних сил, действующих на механическую систему и сил инерции образует в каждый момент времени уравновешенную систему сил.

Мысленно зафиксируем время t и сообщим каждой точке системы одно из возможных перемещений . Умножим скалярно каждое слагаемое на , затем сложим все N полученных уравнений между собой, получим

,

т.е. , (k = l,2,...,N), (*)

здесь: . - элементарная работа внешних сил, на одном из возможных перемещений - элементарная работа сил инерции на том же возможном перемещении.

Уравнение (*) называется общим уравнением динамики:

при движении механической системы в каждый момент времени сумма элементарных работ всех действующих на систему внешних сил и сил инерции на любом возможном перемещении равна нулю.

Так как в уравнение (*) входит работа сил инерции, величина которой выражается через ускорение точек системы , то эти уравнения дают возможность составлять дифференциальные уравнения движения механической системы.

Если механическая система представляет собой абсолютно твердое тело и это тело движется поступательно, то множество сил инерции точек тела следует заменить главным вектором сил инерции, приложенным к центру масс этого тела и равным

здесь М- масса тела, а_с =d²r_c/dt² ускорение центра масс тела.

Если твердое тело вращается относительно неподвижной оси z, и ось вращения является главной центральной осью, то множество моментов от сил инерции следует заменить главным моментом сил инерции, равным

,

здесь J_z - момент инерции тела относительно оси вращения, -угловое ускорение.

Если твердое тело совершает плоское движение, то множество сил инерции всех точек заменяют главным вектором сил инерции, приложенным к центру масс этого тела и главным моментом сил инерции относительно центра.

Пример I. Механическая система состоит из составного диска 2 (m₂g = 20 Н, R₂ = 0,4 м, r₂ =0,2 м, радиус инерции относительно оси вращения i_и = 0,4м), с намотанными на него нитями, на концах которых прикреплены груз 1 (т₁g = 10 Н) и однородный цилиндр 3 (т₃ g = 80 Н). Цилиндр катится без скольжения по шероховатой наклонной поверхности с углом наклона α=30°.

Система движется в плоскости рисунка под действием сил тяжести и вращающего момента М_вр = 6 Нм, приложенного к диску 2. Вычислить ускорение первого тела.

Замечание. Рассмотрим движение механической системы, состоящей из трех тел, соединенных нерастяжимыми нитями. Система имеет одну степень свободы. Связи, наложенные на систему идеальные. Выберем в качестве обобщенной координаты перемещение первого груза q=S₁.