Розділ 3. Аналітична геометрія на площині

§3.1. Координати точки на прямій і на площині. Відстань між двома точками

Координатами точки називаються числа, взяті у певному порядку, які визначають положення точки на прямій, на площині, у просторі або на поверхні. Найчастіше використовують декартові координати.

Декартова прямокутна система координат на площині – це дві взаємно перпендикулярні координатні осі і з вибраною одиницею масштабу. Положення точки в системі задається парою чисел

Відстань між точками і на площині :

. (3.1)

Поділ відрізка в заданому відношенні. Нехай точка лежить на відрізку і ділить його у відношенні (рис. 3.1). Тоді координати точки визначаються через координати точок і за формулами:

(3.2)

Координати середини відрізка (при ):

(3.3)

Рис. 3.1

§3.2. Полярна система координат

Найважливішою після прямокутної системи координат є полярна система координат. Вона задається точкою О, яка називається полюсом, і променем , що виходить з полюса і називається полярною віссю. Задаються також одиниці масштабу: лінійна – для вимірювання довжин відрізків і кутова – для вимірювання кутів.

Розглянемо полярну систему координат і візьмемо на площині довільну точку . Нехай – відстань від точки до точки і – кут, на який треба повернути полярну вісь проти годинникової стрілки, щоб сумістити її з вектором (рис. 3.2).

Рис. 3.2

Полярними координатами точки називаються числа і . При цьому число вважається першою координатою і називається полярним радіусом, а число – другою координатою і називається полярним кутом. Точка з полярними координатами позначається так: . Очевидно, полярний радіус може набувати довільних невід’ємних значень: полярний кут вважається таким, що змінюється в межах .

Виразимо декартові координати точки через полярні. Вважатимемо, що початок прямокутної системи збігається з полюсом, а вісь – з полярною віссю . Якщо точка має декартові координати і та полярні і , то

, , (3.4)

звідки

, . (3.5)

Зауважимо, що друга з формул (3.5) дає два значення кута , оскільки він змінюється від 0 до . З цих двох значень кута треба взяти те, для якого задовольняються формули (3.4). Формули (3.4) називають формулами переходу від полярних координат до декартових, а формули (3.5) – формулами переходу від декартових координат до полярних.