Розділ 4. Аналітична геометрія в просторі

§4.1. Площина

Будь-яке рівняння першого степеня з трьома змінними визначає площину і навпаки, будь-яка площина визначається рівнянням першого степеня відносно довільних координат.

Рівняння площини, яка проходить через дану точку.

а) Нехай дана точка , що задана радіусом-вектором . Рівняння площини, яка проходить через дану точку, у векторній формі має вигляд:

,

де – радіус-вектор будь-якої точки площини; – нормальний вектор (рис. 4.1).

Рис. 4.1

б) Рівняння площини, яка проходить через дану точку і має нормальний вектор , у координатній формі має вигляд:

.

Загальне рівняння площини. Загальне рівняння площини має вигляд:

Ax + By + Cz + D = 0. (4.1)

Окремі випадки рівняння (4.1).

1. Нехай у рівнянні (4.1) вільний член D = 0, тоді одержимо рівняння

Ax + By + Cz = 0

площини, яка проходить через початок координат.

2. Нехай у рівнянні (4.1) один із коефіцієнтів А, В і С дорівнює нулю. Тоді отримаємо рівняння площин, паралельних відповідно координатним осям:

• рівняння площини, паралельної осі Ох:

By + Cz + D = 0; (4.2)

• рівняння площини, паралельної осі Оу:

Ax + Сz + D = 0; (4.3)

• рівняння площини, паралельної осі Оz:

Ax + By + D = 0. (4.4)

3. Нехай у рівняннях (4.2), (4.3) і (4.4) вільний член D = 0. Тоді одержимо рівняння площини, яка проходить через відповідні осі координат:

• рівняння площини, яка проходить через вісь Ох:

By + Cz = 0;

• рівняння площини, яка проходить через вісь Оу:

Ах + Cz = 0;

• рівняння площини, яка проходить через вісь Оz:

Ах + Ву = 0.

4. Нехай у рівнянні (4.1) два коефіцієнти А=В=0 або А=С=0, або С=В=0. Тоді отримаємо рівняння площин, паралельних відповідним координатним площинам:

• рівняння площини, яка паралельна координатній площині уОz:

Ах + D = 0, або х = а;

• рівняння площини, яка паралельна координатній площині хОz:

Ву + D = 0, або у = b;

• рівняння площини, яка паралельна координатній площині хОу:

Cz + D = 0, або z = а.

5. Нехай у рівнянні (4.1) три коефіцієнти В, С і D або А, С і D, або А, В і D дорівнюють нулю. Тоді отримаємо рівняння координатних площин:

• рівняння площин уОz:

Ах = 0, або х = 0;

• рівняння площини хОz:

Ву = 0, або у = 0;

• рівняння площини хОу:

Cz = 0, або z = 0.

Загальне рівняння площини у векторній формі має вигляд:

,

де – вектор, перпендикулярний до даної площини; – біжучий радіус-вектор.

Рівняння площини у відрізках на осях координат має вигляд:

,

де за параметри, які визначають площину, обрані відрізки а, b і с, що відтинаються цією площиною на осях координат.

Нормальне рівняння площини.

1. Нехай у просторі задана декартова система координат Oxyz з початком у точці О і площина α (рис. 4.2). Проведемо з точки О до площини α вектор нормалі . Нехай , а – напрямні косинуси цього вектора; тоді вектор

– одиничний вектор нормалі.

Рис. 4.2

Якщо М (x, y, z) – довільна точка площини, то – радіус-вектор точки М. Очевидно, Пр .

З іншого боку, Пр .

Отже, , або

, (4.5)

або .

Рівняння (4.5) називається нормальним рівняння площини.

Зведення загального рівняння площини до нормального вигляду. Для того, щоб загальне рівняння площини (4.1) було нормальним, воно має задовольняти дві умови:

.

Якщо рівняння (4.1) не є нормальним, то його можна завжди звести до нормального вигляду (4.5). Для цього потрібно помножити рівняння (4.1) на нормувальний множник

,

вибравши знак перед коренем, протилежний знаку вільного члена D, рівняння (4.1).

Приклад 4.1. Звести рівняння площини 2х–2у+z–18=0 до нормального вигляду.

Розв’язування. Знайдемо нормувальний множник:

.

Помноживши дане рівняння на , дістанемо

.

Кут між двома площинами. Кутом між двома площинами називається будь-який з двогранних кутів, утворених цими площинами (рис. 4.3). (Нам досить визначити один з цих кутів, оскільки сума їх дорівнює π). Один з них дорівнює куту між нормальними векторами до цих площин .

Рис. 4.3

Тому:

а) кут між площинами, які задані рівняннями у векторній формі

,

визначається за формулою

;

б) кут між двома площинами, які задані рівняннями у координатній формі

визначається за формулою

.

Приклад 4.2. Знайти кут між площинами 3х – 4у – z – 1 = 0 і 2х + 3у – 6z – 2 = 0.

Розв’язування. Маємо

Оскільки , то площини будуть перпендикулярними одна до одної .

Умови паралельності і перпендикулярності двох площин. Умова паралельності двох площин:

виражається рівностями

Умова перпендикулярності двох площин:

Відстань від точки до площини. Відхиленням даної точки від даної площини називається число , яке дорівнює довжині перпендикуляра, опущеного з цієї точки на площину, взятого зі знаком плюс, якщо точка і початок лежать по різні боки від цієї площини, і зі знаком мінус, якщо вони лежать по один бік площини.

Відхилення  одержується в результаті підстановки координат даної точки в нормальне рівняння (4.5) даної площини:

або у векторній формі

Відстань d від точки до площини Ax+By+Cz+D=0 дорівнює абсолютному значенню відхилення

або

У векторній формі відстань від точки до площини

де – радіус-вектор точки .

Рівняння площини, яка проходить через три дані точки. Рівняння площини, яка проходить через три дані точки , і , що не лежать на одній прямій, мають вигляд:

а) у векторній формі:

,

де – радіуси-вектори точок ( – довільна точка площини).

б) у координатній формі: