§3.3. Різні види рівнянь прямої на площині

Нехай пряма на площині проходить через задану паралельно заданому ненульовому вектору , який називається напрямним вектором прямої. Тоді канонічне рівняння прямої:

(3.6)

де – координати довільної точки прямої.

З (3.6) легко дістати параметричне рівняння прямої:

, (3.7)

де – параметр, який може набувати довільних дійсних значень.

Рівняння прямої, яка проходить через задану точку і має заданий кутовий коефіцієнт :

(3.8)

Рівняння прямої, що проходить через дві задані точки та :

(3.9)

Рівняння з кутовим коефіцієнтом:

(3.10)

де де – кут, який утворює пряма з додатнім напрямом осі ; -відрізок, що відтинається прямою на осі (рис. 3.3).

Рис. 3.3

Загальне рівняння прямої на площині:

(3.11)

де – координати вектора перпендикулярного (нормального) до даної прямої.

Рівняння прямої у відрізках на осях координат:

, (3.12)

де точки – відповідно точки перетину прямої з осями координат.

Нормальне рівняння має вигляд:

(3.13)

де – координати довільної точки даної прямої, – довжина перпендикуляра (нормалі), проведеного з початку координат на пряму; – кут нахилу цього перпендикуляра до осі .

Щоб звести загальне рівняння прямої до нормального вигляду, треба всі його члени помножити на множник який береться зі знаком, протилежним знаку вільного члена .

§3.4. Кут між двома прямими. Умови паралельності і перпендикулярності двох прямих. Відстань від точки до прямої

Кут між двома прямими. Нехай дві прямі задані рівняннями:

:

:

Рис. 3.4

Позначимо через кут нахилу прямої до осі і через кут, на який потрібно повернути пряму до збігу з прямою (рис.3.4). Тоді кут буде кутом нахилу прямої до осі . Звідси

Якщо прямі і не перпендикулярні, то

Ураховуючи, що маємо:

(3.14)

Рівняння (3.14) дозволяє обчислити кут між прямими і .

Якщо дві прямі задані канонічними рівняннями

і

то кут між ними визначається як кут між їх напрямними векторами і

. (3.15)

Якщо дві прямі задані своїми загальними рівняннями:

і

то кут між ними визначається, як кут між відповідними нормальними векторами і

(3.16)

Умови паралельності і перпендикулярності двох прямих. Якщо прямі задані рівняннями з кутовим коефіцієнтом, тоді з (3.14) встановлюємо умову паралельності прямих:

і умову перпендикулярності:

Якщо дві прямі задані канонічними рівняннями, тоді з (3.15) випливає, що пропорція

– це умова паралельності даних прямих, а рівність

– умова перпендикулярності цих самих прямих.

Якщо прямі задані загальними рівняннями, тоді з (3.16) випливає, що пропорція

– це умова паралельності даних прямих, а рівність

– умова перпендикулярності цих прямих.

Відстань від точки до прямої. Відстань від заданої точки до прямої знайдемо, якщо в ліву частину нормального рівняння прямої на місце поточних координат підставимо координати і отримане число візьмемо за абсолютним значенням:

Якщо пряма задана загальним рівнянням то

Приклад 3.1. Знайти кут між прямими і .

Розв’язування. За формулою (3.16) маємо

.

.

Приклад 3.2. Скласти рівняння прямої, що проходить через точку паралельно прямій .

Розв’язування. Приведемо задане рівняння до вигляду: , отже, кутовий коефіцієнт прямої .

Оскільки шукана і задана прямі паралельні, то за умовою паралельності двох прямих їх кутові коефіцієнти рівні між собою, тому, скориставшись рівнянням (3.8), дістанемо або .

Приклад 3.3. Знайти відстань від точки до прямої

Розв’язування. Маємо

.