§3.8. Парабола

Параболою називається множина всіх точок площини, кожна з яких знаходиться на однаковій відстані від даної точки, що називається фокусом, і від даної прямої, яка називається директрисою і не проходить через фокус.

Відстань від фокуса до директриси p називається параметром параболи.

Канонічне рівняння параболи, симетричної відносно осі (рис. 3.8): канонічне рівняння параболи, симетричної відносно осі (рис. 3.9):

З рис. 3.8 видно, що парабола має фокус і директрису ; фокальний радіус-вектор точки на ній . Парабола (рис. 3.9) має фокус і директрису ; фокальний радіус-вектор точки на ній .

Рис. 3.8 Рис. 3.9

Приклад 3.6. Скласти рівняння параболи, що має фокус і проходить через початок координат, знаючи, що її віссю є вісь .

Розв’язування. Оскільки фокус знаходиться у нижній півплощині, то й парабола, що міститься у нижній півплощині, симетрична відносно осі . Її рівняння . Фокус має координати . За умовою . Отже, рівняння параболи .

Завдання для самоконтролю

1. Загальне рівняння прямої.

2. Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом.

3. Рівняння прямої, яка проходить через точку М₀ (х₀, у₀), із заданим кутовим коефіцієнтом.

4. Рівняння прямої, яка проходить через точку М₀ (х₀, у₀), із заданим нормальним вектором .

5. Рівняння прямої, яка проходить через точку М₀ (х₀, у₀), із заданим напрямним вектором .

6. Рівняння прямої, яка проходить через дві задані точки М₁ (х₁, у₁) та М₂ (х₂, у₂).

7. Кут між двома прямими.

8. Ознака паралельності двох прямих.

9. Ознака перпендикулярності двох прямих.

10. Рівняння прямої “у відрізках”.

11. Нормальне рівняння прямої.

12. Відстань від точки до прямої.

13. Що називається колом?

14. Записати рівняння кола з центром у точці (а, b), з радіусом R. Зробити креслення.

15. Що називається еліпсом?

16. Записати канонічне рівняння еліпса. Зробити креслення.

17. Що називається ексцентриситетом еліпса?

18. Записати рівняння директриси еліпса. Чому дорівнює відстань між директрисами?

19. Що називається гіперболою?

20. Записати канонічне рівняння гіперболи. Зробити креслення.

21. Записати рівняння асимптот гіперболи.

22. Що називається ексцентриситетом гіперболи?

23. Записати рівняння директриси гіперболи.

24. Що називається параболою?

25. Записати канонічні рівняння параболи. Зробити креслення.

26. Який геометричний зміст параметра р?

27. Задані координати трьох точок А (х₁, у₁), В (х₂, у₂), С (х₃, у₃).

Скласти: 1) рівняння прямої, яка проходить через точку А (х₁, у₁) паралельно вектору ; 2) рівняння прямої, яка проходить через точку В (х₂, у₂) перпендикулярно вектору ; 3) рівняння прямої, яка проходить через точки А (х₁, у₁) та В (х₂, у₂).

а) А (1; 2), В (-3; 4), С (0; -7); б) А (0; 1), В(2; 4), С (-5; 1).

28. Визначити кут між двома прямими:

а) 5х – у + 2 = 0 б) 2х + 6у – 1 = 0

2х + 3у – 1 = 0; 3х + у + 7 = 0.

29. Визначити, які з поданих пар прямих паралельні, які перпендикулярні:

а) 3х – у + 5 = 0 та х + 3у – 1 = 0; б) у + 3 = 0 та 5у – 7 = 0.

30. Обчислити площу трикутника, який відсікає пряма Ах + Ву + С = 0 від координатного кута:

а) 2х – 6у + 12 = 0; б) 8х – 3у + 24 = 0.

31. Обчислити відстань від точки Р (х₀, у₀) до прямої Ах + Ву + С = 0.

а) Р (2; -5) х – 2у – 7 = 0; б) Р (-2; 3) 3х – 4у – 2 = 0.

32. Які з наведених рівнянь визначають кола?

Знайти центр С та радіус R кола, побудувати його.

а) х² + у² – 10х + 4у + 4 = 0; б) х² + у² + х = 0.

33. Задано еліпс. Знайти: 1) його півосі; 2) фокуси; 3) ексцентриситет; 4) рівняння директрис; 5) побудувати його.

а) 4х² + 9у² = 25; б) х² + 15у² = 15.

34. Задано гіперболу. Знайти: 1) півосі а та b; 2) фокуси; 3) ексцентриситет; 4) рівняння асимптот; 5) рівняння директрис; 6) побудувати гіперболу.

а) 9х² – 64у² = 1; б) 4х² – 9у² = 36.