Вектори утворюють базис, якщо вони лінійно незалежні, звідси їх лінійна комбінація дорівнює 0 тоді, коли , тобто .

Або в скалярній формі маємо систему:

.

Для того, щоб ця лінійна однорідна система мала тільки нульовий (єдиний) розв’язок, її основний визначник не повинен дорівнювати нулю.

Перевіримо цю умову:

.

Тобто система має тільки нульовий розв’язок, а вектори лінійно незалежні і утворюють базис. Будь-який четвертий вектор цього тривимірного простору можна подати як лінійну комбінацію векторів , тобто , де – координати вектора в цьому базисі. За допомогою визначення рівності векторів (вектори рівні, якщо їх однойменні координати рівні), отримаємо систему скалярних лінійних рівнянь:

.

Розв’яжемо систему методом Крамера. Знаходимо визначники:

 = 1 (вже обчислений)

Згідно з формулами Крамера, маємо:

.

Шуканий вектор має координати (-3, -2, 4) у базисі заданих векторів .

2. Маємо систему лінійних рівнянь

.

Розв’язати її:

1. за матричним методом; 2) за методом Гауса; 3) визначити ранг системи.

Розв’язування. 1. Матричний метод. Розглянемо матриці:

.

Тоді система запишеться: АХ = В і її розв’язок буде:

, де – обернена матриця до матриці А. Так як А існує тільки для квадратних, не вироджених матриць, то перевіримо ці умови. А – квадратна (кількість рядків дорівнює кількості стовпців).

Обчислимо

.

Тобто існує. Знайдемо двома способами:

а) маємо формулу ,

де – алгебраїчні доповнення елементів матриці А.

Знаходимо :

Тоді ;

б ) знайдемо за допомогою елементарних перетворень блочної матриці (А Е), де Е – одинична матриця того ж порядку, що й матриця А:

1-й крок ,

2-й крок ,

3-й крок ,

4-й крок ,

5-й крок ,

6-й крок .

Звідси .

Тут зроблено такі перетворення:

1-й крок – переставлені рівняння в системі;

2-й крок – перший рядок віднімається від другого та третього;

3-й крок – другий рядок ділиться на 6;

4-й крок – другий рядок додається до першого, другий рядок множиться на 4 і додається до третього;

5-й крок – третій рядок ділиться на (-35/3);

6-й крок – третій рядок множиться на (5/3) і (-1/3) і додається відповідно до другого й першого.

Розв’язком системи рівнянь буде:

для

а) ;

для

б) .

2. Метод Гаусса. Запишемо розширену матрицю (А/В) та зведемо її за допомогою елементарних перетворень до матриці (Е/В). Матриця , отримана на місці матриці В, і дасть розв’язок системи:

Тобто . Перетворення за кроками описано в п. 1.

Зауваження. Якщо в клітині (1, 1) початкової матриці (А/В) стоїть елемент, нерівний 1, то перший крок – ділення першого рядка на цей елемент, а далі – аналогічні кроки, як у розглянутому прикладі.

3. Знайти власні числа та власні вектори матриці .

Власним вектором матриці А називається ненульовий вектор , що задовольняє рівняння , де А – квадратна матриця, – вектор-стовпчик, число  – власне число матриці А, що відповідає власному вектору .

Це рівняння можна переписати у вигляді

, або .

Власні числа матриці А є коренями характеристичного рівняння

,

або в розгорнутому вигляді

.

Для знаходження власних векторів (k = 1, 2, 3), які відповідають власним числам (k = 1, 2, 3), запишемо систему в розгорнутому вигляді

Ця однорідна система матиме ненульовий розв’язок, якщо її визначник дорівнюватиме нулю.

Розв’язування.

Запишемо характеристичне рівняння

Розкриємо визначник

.

Таким чином, власні числа: . Знайдемо відповідні власні вектори. Для цього підставимо послідовно в систему рівнянь:

1) .

Отримаємо: .

Звідси , де u – довільне число;

2) .

Отримаємо: .

Звідси , де v – довільне число;

3) .

Отримаємо: .

Звідси , де w – довільне число.

Зауваження. Наприклад, вектор . Можна записати так:

, або (перевір!).

4. Маємо координати вершин деякого трикутника: А(-12, -4); В(12, -10); С(-6, 14). Потрібно:

1. скласти рівняння лінії ВС;

2. рівняння висоти AD проведеної з вершини А;

3. обчислити довжину висоти, проведеної з вершини А;

4. знайти координати центра ваги трикутника;

5. обчислити кут В (в радіанах з точністю до двох знаків).

Р озв’язування.

Зробимо рисунок:

1. Через те, що лінія ВС проходить через дві задані точки, то її рівняння буде . Підставимо координати .

Запишемо рівняння у загальному вигляді: 4х + 3у – 18 = 0.

2. Висота АD проходить через задану точку А і перпендикулярно ВС. Знайдемо кутовий коефіцієнт лінії ВС: 3у = 18 – 4х  у = -4/3х + 6. Звідси .

З умови перпендикулярності знаходимо кутовий коефіцієнт перпендикуляра . З рівняння жмутка прямих, що проходять через точку А, знаходимо шукане рівняння висоти АD

у + 4 = 3/4 (х + 12) або 3х – 4у + 20 = 0.

3. Обчислимо довжину висоти АD. Знаходимо точку D як точку перетину прямих АD та ВС. Розв’язуємо систему

;

.

Маємо D . Довжину відрізка АD знаходимо за формулою

.

Довжину висоти АО можна обчислити і за формулою відстані точки а від прямої ВС: тобто .

4. Центр ваги трикутника знаходиться на перетині медіан.

Знайдемо рівняння медіан СМ та ВМ. Координати точок М та N знаходимо за формулами: (медіана ділить сторони навпіл,  = 1).

Маємо .

Рівняння СМ: .

Рівняння ВN: .

Знайдемо координати центра ваги, це точка перетину прямих СМ та ВN.

Розв’язуємо систему: , .

Отже, Ц .

5. Кут В знайдемо за формулою .

Знайдемо кутовий коефіцієнт із рівняння прямої АВ: , , у = -4х - 28, тоді = - 4.

Кутовий коефіцієнт прямої ВС вже знайдено: .

Підставимо у формулу . Звідси рад.

5. Скласти канонічне рівняння гіперболи, симетричної відносно осей координат, фокусна відстань якої дорівнює 16, а координати вершин (-6, 0) та (6, 0). Знайти рівняння асимптот і директрис.

За умовою, гіпербола симетрична відносно осей координат і вершина її лежить на осі ОХ, тому її рівняння .

Міжфокусна відстань 2с = 16. Звідси с = 8. За формулою , де а = 6 (за умовою) знаходимо .

Рівняння асимптот: . Підставивши а та b, отримаємо: .

Рівняння директрис гіперболи , де  – ексцентриситет, .

Підставивши дані, отримаємо рівняння .

Виконаємо рисунок:

6. Привести рівняння ліній до канонічного вигляду та визначити тип лінії. На рисунку показати тільки ту частину лінії, яка відповідає заданому рівнянню:

а) ;

б) .

Перетворимо рівняння

.

Це рівняння кола з центром у точці О(-2, -5) і R = 5. Розв’яжемо його відносно х, тоді отримаємо: , або – ліве півколо, – праве півколо.

Відповідно, початкове рівняння – праве півколо отриманого кола. Виконаємо рисунок.

Для цього в рівнянні кола зробимо заміну: . Тоді в системі рівняння кола .

Побудуємо нову систему координат з центром у точці і осями та . Знайдемо додатково точки А і В – точки перетину лінії з віссю Оу. Нехай у рівнянні лінії х = 0, тоді отримаємо - або . Звідси . Відповідно, , .

б) .

Перетворимо рівняння: ;

;

.

Уведемо нові змінні . Нова система має початок у точці , а осі та паралельні відповідним осям Ох і Оу старої системи координат. У новій системі координат рівняння лінії .

Це гіпербола з параметрами а = 8 та b = 6. Для побудови малюнка в старій системі Оху будуємо точу і осі і . Так як знак перед коренем (–), то початкове рівняння – це ліва гілка гіперболи. При у = 0 отримаємо .

Ц е абсциса точки А перетину гілки гіперболи з віссю Ох. Виконаємо рисунок.

7. Надані координати вершин піраміди. Знайти: а) кут між ребрами та ; б) проекцію вектора на вектор ; в) площу грані ; г) об’єм та висоту піраміди з вершиною . Зробити креслення.

Маємо вершини . Побудуємо піраміду. Знайдемо координати векторів на ребрах як різницю однойменних координат кінця та початку вектора .

1. Кут між ребрами та знаходимо як кут між векторами за формулою

,

або в координатах

.

Звідси .

2) Площу грані знаходимо з геометричного змісту модуля векторного добутку векторів. Обчислимо

.

Тоді кв. од.

3) Проекцію вектора на обчислюємо за формулою

Пр ,

Пр .

4) Об’єм піраміди знаходимо з геометричного змісту змішаного добутку за формулою

.

5) Рівняння ребра знаходимо у вигляді канонічного рівняння прямої, що проходить через задану точку направляючим вектором :

.

Підставимо числа і отримаємо: .

6) Рівняння площини знаходимо за формулою

.