Геометрический смысл теоремы Ролля

С геометрической точки зрения теорема Ролля означает, что график функции, непрерывной на отрезке [a;b], дифференцируемой на интервале (a;b) и принимающей на концах отрезка равные значения, имеет хотя бы одну точку с координатами (х₀ ; f (х₀)), где х₀Î (a;b), в которой касательная параллельна оси Ox (рис. 7).

Рис. 7

2. Теорема Лагранжа

Теорема 5 (теорема Лагранжа). Если функция f(x) определена на отрезке [a;b] и выполнены следующие условия:

• f(x) непрерывна на отрезке [a;b],

• f(x) дифференцируема на интервале (a;b),

то внутри этого отрезка существует хотя бы одна точка х₀, в которой выполняется равенство:

f ' (х₀) = .

Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию F(x) = f(x) + ×x, где  = const. Потребуем, что бы для F(x) выполнялось условие F(a) = F(b).

Так как F(a) = f(a) + ×a и F(b) = f(b) + ×b, то получим равенство:

f(a) + ×a = f(b) + ×b.

Отсюда выразим значение :

 = – .

При этом значении  функция F(x) = f(x) – .

Функция F(x) удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля:

• F(x) непрерывна на отрезке [a;b]:

• F(x) дифференцируема на интервале (a;b)

• F(a) = F(b).

Следовательно, по теореме Ролля на интервале (a;b) существует хотя бы одна точка х₀, в которой выполняется равенство:

F '(х₀) = 0.

Найдём F '(x):

F '(x) = f '(x) – .

Поэтому F '(x₀) = f '(х₀) – = 0, если f '(х₀) = .

Теорема доказана.

Геометрический смысл теоремы Лагранжа

С геометрической точки зрения теорема Лагранжа означает, что график функции, непрерывной на отрезке [a;b] и дифференцируемой на интервале (a;b), имеет хотя бы одну точку (х₀; f(х₀), в которой касательная параллельна секущей, проходящей через точки A(a; f(a)) и B(b; f(b)) (рис. 8)

Рис. 8

3. Теорема Коши

Теорема 6 (теорема Коши). Если функции f(x) и g(x) определены на отрезке [a;b] и удовлетворяют условиям:

• f(x) и g(x) непрерывны на отрезке [a;b];

• f(x) и g(x) дифференцируемы на интервале (a;b);

• g '(x)  0 при любом x Î (a;b),

то внутри отрезка [a;b] найдётся хотя бы одна точка х₀, в которой выполняется равенство:

.

Доказательство аналогично доказательству теоремы 5 (теорема Лагранжа) при вспомогательной функции

F(x) = f(x) +  × g(x),

где  = const, которую выбирают так, чтобы F(a) = F(b).

4. Правило Лопиталя

Теорема 7 (правило Лопиталя). Если функции f(x) и g(x) определены в некоторой окрестности точки х₀ и в этой окрестности они удовлетворяют условиям:

• f(x) и g(x) дифференцируемы в каждой точке за исключением может быть самой точки х₀;

• g '(x)  0 для любого x из этой окрестности;

• или ,

тогда, если существует конечный или бесконечный, то выполняется равенство:

= .

Замечание 1. Правило Лопиталя используется для раскрытия неопределённостей типа или , возникающих при вычислении пределов. Если под знаком предела оказывается неопределённость другого типа: 0×∞, , 1⁰, 0⁰ или ∞⁰, то с помощью тождественных алгебраических преобразований такая неопределённость приводится к или и тогда можно применить правило Лопиталя.

Замечание 2. Если к условиям теоремы 7 добавить дифференцируемость функций f '(x) и g'(x) в окрестности точки х₀, то при выполнении остальных требований для f '(x) и g'(x) правило Лопиталя можно применить повторно. При этом будет справедливо равенство:

= =

Пример 1. Вычислить предел:

Пример 2. Вычислить предел:

Пример 3. Вычислить предел:

Пример 4. Вычислить предел:

.

Пример 5. Вычислить предел:

Пример 6. Вычислить предел: