Основные теоремы о конечных пределах
Теорема 1.
Функция f(x)
имеет конечный предел в точке
тогда
и только тогда, когда выполняется
равенство: f(x)
= А+a(x),
где a(x)
– бесконечно
малая функция в точке
.
Доказательство этой теоремы вытекает из определения предела функции в точке и определения бесконечно малой функции в точке.
Теорема 2. Если существуют конечные пределы двух функций f(x) и g(x) в точке , то существует конечный предел суммы этих функций в точке , равный сумме пределов этих функций.
Доказательство:
Пусть
,
тогда по теореме 1 f(x)
= А+a(x),
где a(x)
– бесконечно малая функция в точке
x0.
Пусть
,
тогда по теореме 1g(x)
= B
+ β(x),
где β(x)
– бесконечно малая функция в точке
x0.
Рассмотрим сумму этих функций:
f(x) + g(x) = A + a(x) + B + β(x) = (A+B) + a(x) + β(x).
Обозначим γ(x) = a(x) + β(x) – бесконечно малая функция в точке x0 (по свойству 1 бесконечно малых функций). Получим f(x) + g(x)=A + B + γ(x).
По теореме 1:
.
Теорема доказана.
Теорема 3. Если существуют конечные пределы двух функций f(x) и g(x) в точке , то существует предел произведения этих функций в точке , равный произведению пределов этих функций.
Доказательство:
Пусть
,
тогда по теореме 1: f(x)
= А+a(x),
где a(x)
– бесконечно
малая функция в точке
.
Пусть
,
тогда по теореме 1: g(x)
= B
+ β(x),
где β(x)
– бесконечно малая функция в точке
.
Рассмотрим
произведение этих функций:
f(x) × g(x) = (А +a(x))(B + β(x)) = A×B + B×a(x) + A×β(x) + a(x) ×β(x).
Обозначим: B×a(x) + A×β(x) + a(x) ×β(x) = γ(x), где γ(x) – бесконечно малая функция в точке (по свойствам бесконечно малых функций). Получим: f(x)×g(x) = A×B + γ(x).
По теореме 1:
.
Теорема доказана.
Теорема 4.
Если существуют конечные пределы f(x)
и g(x),
причём
,
то существует
предел частного этих функций
в точке
,
равный
частному пределов этих функций, т. е.:
если существует
и существует
,
B
≠ 0, то
существует
(доказать
самостоятельно).
Теорема 5 (о пределе трёх функций). Если существуют равные конечные пределы функций f(x) и g(x) в точке :
и при стремлении x к x0 выполняется неравенство:
φ(x)
то существует
φ(x),
равный А.
Доказательство: Возьмем любое > 0. Вычитая из всех частей двойного неравенства, данного в условии, число A, получим
φ(x)
()
Так как
,
то найдётся такое 1, что для всех x x0, удовлетворяющих условию
,
будет верно неравенство
,
или, что то же,
()
Аналогично для функции g(x) найдётся такое 2, что для всех x x0, удовлетворяющих условию
,
будет верно неравенство
.
()
Из неравенств, отмеченных (), следует, что
φ(x)
,
или, что то же самое
|φ(x)
для всех x
x0,
удовлетворяющих условию
,
где
– меньшее из 1
и 2.
Это означает, что
φ(x).
Теорема доказана.