§ 4. Дифференцирование функции одной переменной

Определение производной, её геометрический и механический смысл

Пусть дана функция , определённая на множестве D(f). Рассмотрим точку xD(f) и некоторое число x – такое, чтобы точка x+xD(f). Это число Dx называется приращением аргумента x.

Определение 1. Приращением функции называется разность f(x+Dx) – f(x). Приращение функции обозначают Dy, т.е. Dy = f(x+Dx) – f(x).

Определение 2. Производной функции называется предел отношения приращения функции Dy к приращению аргумента Dx, если приращение аргумента Dx стремится к нулю и этот предел существует. Производную функции обозначают: или . Поэтому можно записать:

Пример. Исходя из определения найти производную функции у = .

Решение.

Dy= f(x+ Dx) – f(x) = = .

Ответ: .

Механический смысл производной

Пусть материальная точка движется по прямой по закону S = S(t),

тогда DS = S(t+Dt) – S(t) – расстояние, пройденное за время Dt и средняя скорость движения:

Чтобы найти скорость движения в момент времени t, надо рассмотреть предел при Dt  0:

V(t) = .

Следовательно, производная от пути S(t) равна мгновенной скорости точки в момент времени t :

Геометрический смысл производной

Рассмотрим график функции y = f(x) в окрестности фиксированной точки М₀(рис. 5).

Точка M₀(x₀;y(x₀)) – фиксированная точка графика . Точка M(x₀+Dx; y(x₀+Dx)) при различных значениях Dx – любая точка на графике. Если точка M приближается к точке M₀ (при этом Dx  0), то секущая линия M₀M стремится к своему предельному положению, называемому касательной к линии y = f(x) в точке M₀.

Рис. 5

Рассмотрим треугольник M₀MA: tg  = ,  – угол наклона секущей M₀M к оси Ox.

Перейдем к пределу при Dx 0:

 = ,

где – угол наклона касательной к оси Ox.

Таким образом, y' (x₀) = tg частное значение производной функции в точке x₀ равно угловому коэффициенту касательной, проведённой к линии y = f(x) в точке M₀(x₀; y(x₀)). Тогда, используя уравнение прямой, проходящей через заданную точку M₀(x₀;y₀) с известным угловым коэффициентом K_кас= y'(x₀), можно записать уравнение касательной к линии y = f(x) в точке M₀(x₀; f(x₀)):