§ 6. Исследование поведения функций

1. Асимптоты плоской кривой

Определение 1. Если точка M(x; y) перемещается по кривой y = f(x) так, что хотя бы одна из координат точки стремится к  и при этом расстояние от этой точки до некоторой прямой стремится к 0, то эта прямая называется асимптотой кривой y = f(x).

Асимптоты бывают двух видов: вертикальные и наклонные.

Определение 2. Прямая x = a называется вертикальной асимптотой кривой y = f(x), если хотя бы один из односторонних пределов или равен +¥ или – ¥.

Замечание. Если прямая x = a является вертикальной асимптотой кривой y = f(x), то в точке x = a функция f(x) имеет разрыв второго рода. Наоборот, если в точке x = a функция f(x) имеет разрыв второго рода, то прямая x = a является вертикальной асимптотой кривой y = f(x).

Определение 3. Прямая называется наклонной асимптотой кривой при (или ), если функцию f(x) можно представить в виде:

,

где (x) – бесконечно малая функция при (или ).

Теорема 1. Для того чтобы кривая y = f(x) имела наклонную асимптоту при (или ) необходимо и достаточно существования двух конечных пределов:

и

Доказательство. Ограничимся случаем .

Необходимость. Пусть y = kx+b – наклонная асимптота при кривой y = f(x). Тогда функцию f(x) представим в виде:

, где при .

Убедимся в существовании конечных пределов:

.

.

Необходимость доказана.

Достаточность. Пусть существуют конечные пределы и .

Тогда по свойству конечных пределов второй предел можно переписать в виде:

,

где (x) – бесконечно малая величина при .

Отсюда получаем:

,

где при .

Достаточность доказана.

Пример 1. Найти асимптоты кривой .

Решение.

1) D(y) = (–¥;–1)  (–1;1)  (1;+ ¥).

2) Точки x = –1 и x = 1 являются точками разрыва второго рода, так как:

Поэтому прямые x = –1 и x = 1 являются вертикальными асимптотами.

3) Вычислим пределы:

, k = 1.

Отсюда следует, что при прямая y = 1x +0, т.е. y = x – наклонная асимптота при .

Найдём наклонную асимптоту при .

Вычисляя те же пределы при , получим k = 1 и b = 0, т.е. прямая y = x является наклонной асимптотой при .

Ответ: x =  1 – вертикальные асимптоты

y = x – наклонная асимптота при x ® ¥.

2. Монотонность функции

Определение 4. Функция y = f(x) называется возрастающей (убывающей) на промежутке (a;b), если для любых x₁ и x₂, принадлежащих этому промежутку, из условия x₂ > x₁ следует неравенство:

f(x₂) > f(x₁) (f(x₂) < f(x₁)).

Определение 5. Функция y = f(x) называется монотонной на промежутке (a;b), если она на этом промежутке является только возрастающей или только убывающей.

Теорема 2 (достаточные условия монотонности). Если функция y = f(x) дифференцируема на промежутке (a;b) и f’(x) > 0 (f’(x) < 0) для любых x  (a;b), то функция возрастает (убывает) на этом промежутке.

Доказательство. Возьмём любые два значения x₁ и x₂ из промежутка (a;b). Для определённости предположим, что x₂ > x₁.

На отрезке [x₁;x₂] функция y = f(x) непрерывна и дифференцируема (из условия теоремы). Следовательно, она удовлетворяет теореме Лагранжа на отрезке [x₁; x₂], т.е. существует хотя бы одна точка c  (x₁; x₂), в которой выполняется равенство:

f(x₂) – f(x₁) = f' (c)  (x₂ – x₁).

Если f '(x) > 0 для любых x(a;b), то f '(c) > 0. Поэтому f(x₂) – f(x₁) > 0, т.е. из условия x₂ > x₁ следует неравенство f(x₂) > f(x₁). А так как x₁ и x₂ –любые значения из промежутка (a;b), то функция y = f(x) возрастает на этом промежутке.

Если для любых , то . Поэтому , то есть из условия x₂ > x₁ следует неравенство f(x₂) < f(x₁). Так как x₁ и x₂ любые значения из промежутка (a;b), то функция y = f(x) убывает на этом промежутке.

Теорема доказана.