Методы интегрирования определённого интеграла Замена переменной в определённом интеграле
Теорема 5. Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b] и пусть функция x = (t) имеет непрерывную производную j'(t) на отрезке [;], область значений этой функции – отрезок [a;b], т.е. a j (t) b для t [a;b], причём j(a) = a, j(b) = b.
Тогда справедливо равенство:
.
Доказательство.
Так как функция f(x)
непрерывна на отрезке [a;b],
то существует определённый интеграл
и справедлива формула Ньютона– Лейбница:
(1)
где F(x) – одна из первообразных f (x) на отрезке [a;b].
Известно, что F(x) дифференцируема в любой точке отрезка [a;b], причём
F'(x) = f (x) для любого x [a;b].
Так как функция x = j(t) непрерывна на [a;b] и множество её значений совпадает с отрезком [a;b], то сложные функции f(j(t)) и F(j(t)) непрерывны в любой точке t Î [a;b].
Так как j'(t) непрерывна на отрезке [a;b], то функция f(j(t)) j'(t) тоже непрерывна на [a;b], а значит существует интеграл:
.
Покажем, что функция
F(j(t))
является первообразной для
.
Действительно,
(F(j
(t)))'t
= F'(x)
j'(t)
= f
(x)
j'(t)
= f
(j
(t))
j'(t)
для любого t
Î
[a;b].
Поэтому можно к этому интегралу применить
формулу Ньютона–Лейбница:
(2)
(так как j(b) = b и j(a) = a).
Сравнивая результаты (1) и (2) приходим к равенству:
.
Пример 3. Вычислить интеграл:
.
Ответ:
.
Пример 4. Вычислить интеграл:
Ответ:
Интегрирование по частям в определённом интеграле
Теорема 6. Пусть функции u(x) и v(x) имеют непрерывные производные на отрезке [a;b]. Тогда справедливо равенство:
.
Доказательство. Так как (u(x) v(x))' = u(x) v' (x) + u' (x) v(x) для любого x [a;b], то функция u(x) V(x) является одной из первообразных функции u (x) ∙ v' (x) + u' (x) ∙ v(x).
Поэтому по формуле Ньютона–Лейбница:
Пользуясь свойством определённого интеграла можно это равенство записать в виде:
Отсюда следует:
Эту формулу удобно записать в виде:
Пример 5. Вычислить интеграл:
Ответ:
.
Пример 6. Вычислить интеграл:
Ответ:
Приложения определённого интеграла Вычисление площадей плоских фигур в прямоугольной системе координат
а) Область D ограничена кривыми y = f(x) и y = g(x), прямыми x = a и x = b, причём f(x) g(x) для xÎ[a;b].
.
б) Область D ограничена кривыми x = f(y) и x = g(y), прямыми y = c и y = d, причём f (y) g(y) для yÎ[c;d].
.
Вычисление площади плоской фигуры в полярной системе координат
а) Полярная система координат задается полярной осью Ox, полюсом – точка O и масштабной единицей (рис. 14)
Рис. 14
Точка M
в этой системе задаётся двумя координатами
(
и ):
– угол наклона
радиуса-вектора
к
оси Ox;
– длина
радиуса-вектора
.
Формулы перехода от полярной системы
координат к прямоугольной системе,
связанной с полярной точкой начала
координат – точка 0,
осью абсцисс с полярной осью и осью
ординат, перпендикулярной полярной оси
M(j;r)
= M(x;
y):
и
Уравнение кривой в полярной системе координат – соотношение между r и j: r = r (j).
б) Площадь криволинейного сектора в полярной системе, ограниченного лучами j = и j = , кривой r = r(j) (рис. 15), вычисляется по формуле:
.
Рис.15