1. Оценка надежности результатов множественной регрессии, корреляции и фактора дополнительно включенного в модель

Статистическая значимость множественной регрессии в целом, так же как и в парной регрессии, оценивается с помощью F-критерия Фишера:

(1.30)

где D_факт. - факторная сумма квадратов на одну степень свободы;

D_ост. -остаточная сумма квадратов на одну степень свободы;

R² - коэффициент (индекс) множественной детерминации;

k - число параметров при переменных х ;

n - число наблюдений.

Фактическое значение F – критерия сравнивается с табличным при 5 % - ном уровне значимости и числе степеней свободы: k и n-k-1. Если фактическая величина критерия Фишера больше его табличного значения, то построенная многофакторная модель признается статистически значимой.

Частный F – критерий оценивает статистическую значимость присутствия каждого фактора в уравнении или, другими словами, оценивает целесообразность включения фактора в модель. В общем виде для фактора х_i частный F – критерий определится как

(1.31)

где R² _yx1x2…xp- множественный коэффициент детерминации всего комплекса р факторов с результатом;

R² _{yx1x2…xi-1 xi+1…xp} - тот же показатель детерминации, но без включения в модель фактора x_i.

Фактическое значение частного F – критерия сравнивается с табличным при 5 % - ном уровне значимости и числе степеней свободы: 1 и n-k-1. Если фактическое значение частного критерия Фишера F_xi превышает табличное, то дополнительное включение фактора x_i в модель статистически оправданно.

Для двухфакторной модели оценка целесообразности включения одного фактора после другого осуществляется по формулам:

• фактора х₁ после фактора х₂:

(1.32)

• фактора х₂ после фактора х₁:

(1.33)

Оценка статистической значимости коэффициентов чистой регрессии производится с помощью t - критерия Стьюдента по формулам:

или . (1.34)

m_bi- стандартная ошибка коэффициента регрессии b_i, она может быть определена по формуле:

(1.35)

где среднее квадратическое отклонение для признака у;

среднее квадратическое отклонение для признака x_i;

R² _yx1x2…xp- множественный коэффициент детерминации всего комплекса р факторов с результатом;

R² _{xix1x2… xp} - тот же показатель детерминации для зависимости фактора x_i со всеми другими факторами уравнения множественной регрессии;

n -k-1 –число степеней свободы для остаточной суммы квадратов отклонений.

Величина F – критерия, оценивая значимость уравнения регрессии в целом, характеризует одновременной и значимость коэффициента (индекса) множественной корреляции.

Аналогично можно оценивать и существенность частных показателей корреляции. Если величина частного критерия Фишера F_xi выше табличного, то это означает и значимость частного коэффициента корреляции.

1. Решение типовых задач

Задача 1. На основании анализа экономики 10 стран имеются данные об ожидаемой продолжительности жизни х₁ (лет), суточной калорийности питания х₂ (ккал. на душу населения) и индексе человеческого развития у.

Таблица 1.1- Исходные данные

Страна	Австрия	Австралия	Аргентина	Белоруссия	Бельгия	Бразилия	Англия	Венгрия	Германия	Греция
х1	77	78,2	72,9	68	77,2	66,8	77,2	70,9	77,2	78,1
х2	3343	3001	3136	3101	3543	2938	3237	3402	3330	3575
у	0,904	0,922	0,827	0,763	0,923	0,739	0,918	0,795	0,906	0,867

Требуется:

1. Построить уравнение множественной регрессии линейного вида, применив оба метода оценки его параметров. Сделать экономический вывод.

2. Рассчитать средние и частные коэффициенты эластичности, сделать по ним выводы.

3. Оценить качество полученного уравнения множественной регрессии, используя показатель – ошибку аппроксимации.

4. Рассчитать коэффициенты частной корреляции, сравнить их с коэффициентами парной корреляции, пояснить различия между ними.

5. Определить множественный коэффициент корреляции и детерминации и сделать выводы.

6. Используя частный критерий Фишера, оценить целесообразность включения в модель одного фактора после другого.

7. Оценить надежность полученных результатов: статистическую значимость уравнения в целом и ее параметров.