Решение

1. Линейное уравнение множественной регрессии у от х₁ и х₂ имеет вид: Для расчета его параметров применим метод определителей и метод стандартизации переменных. При использовании метода определителей по исходным данным рассчитываем: Расчеты рекомендуется выполнять в виде таблицы.

Таблица 1.2 - Расчеты для линейной множественной регрессии

N	x1	x2	y	x1*y	x2*y	x12	x22	x1*x2
1	77	3343	0,904	69,608	3022	5929	11175649	257411
2	78,2	3001	0,922	72,100	2767	6115	9006001	234678
3	72,9	3136	0,827	60,288	2593	5314	9834496	228614
4	68	3101	0,763	51,884	2366	4624	9616201	210868
5	77,2	3543	0,923	71,256	3270	5960	12552849	273520
6	66,8	2938	0,739	49,365	2171	4462	8631844	196258
7	77,2	3237	0,918	70,870	2972	5960	10478169	249896
8	70,9	3402	0,795	56,366	2705	5027	11573604	241202
9	77,2	3330	0,906	69,943	3017	5960	11088900	257076
10	78,1	3575	0,867	67,713	3100	6100	12780625	279208
Сумма	743,5	32606	8,564	639,393	27983	55451	1,07E+08	2428731
Среднее	74,35	3260,6	0,8564	-	-	-	-	-
	4,143	205,722	0,067	-	-	-	-	-

Определитель системы рассчитываем по формуле (1.8):

Частные определители:

Расчет параметров уравнения регрессии выполним по формулам (1.7):

Уравнение множественной регрессии имеет вид:

С увеличением ожидаемой продолжительности жизни на 1 год при фиксированной суточной калорийности питания индекс человеческого развития повышается 0,164. С увеличением суточной калорийности питания на 1 ккал. на душу населения и фиксированной ожидаемой продолжительности жизни индекс человеческого развития снижается на 0,000034.

Для расчета параметров того же уравнения применим метод стандартизации переменных и построим искомое уравнение в стандартизованном масштабе:

Расчет - коэффициентов выполним, учитывая систему уравнений (1.10). Для этого рассчитаем парные коэффициенты линейной корреляции (табл.1.3):

Таблица 1.3 - Парные коэффициенты корреляции

	у	х1	х2
у	1
х1	0,962	1
х2	0,428	0,525	1

Линейные коэффициенты парной корреляции показывают, что связь между ожидаемой продолжительностью жизни и индексом человеческого развития тесная, прямая. Между суточной калорийностью питания и индексом человеческого развития умеренная, прямая. Умеренная, прямая межфакторная связь.

Получим уравнение

t_y = 1,0107t_x1 –0,1064t_x2.

Для построения уравнения в естественной форме рассчитаем b₁ и b₂, используя формулы перехода (1.11) и значения среднего квадратического отклонения из табл. 1.2.:

Значение а определим из соотношения (1.12):

а = 0,8564 – 0,0164*74,35+0,000034*3260,6 = -0,25.

Уравнение регрессии в естественной форме:

Таким образом, получили ту же самую модель, что и методом определителей.

1. Средние коэффициенты эластичности, рассчитанные по формуле (1.14) составили:

По значению средних коэффициентов эластичности можно сделать вывод о более сильном влиянии на индекс человеческого развития у ожидаемой продолжительности жизни х₁, чем суточной калорийности питания х₂: 1,42% против – 0,13%. Причем с увеличением ожидаемой продолжительности жизни х₁ на 1% от своей средней величины и фиксированном воздействии суточной калорийности питания х₂ индекс человеческого развития у в среднем возрастает на 1,42%. При росте суточной калорийности питания х₂ в среднем на 1% и фиксированном воздействии ожидаемой продолжительности жизни х₁ индекс человеческого развития у в среднем снижается на –0,13 %.

Для расчета частных коэффициентов эластичности по формуле (1.17) необходимо определить значения частных уравнений регрессии по формулам (1.16). Результаты расчета сведены в таблицу 1.4.

Таблица 1.4 – Расчет частных уравнений регрессии и коэффициентов эластичности

№		,%		,%			Аi, %
1	0,900	1,403	0,854	-0,135	0,897	0,008	0,774
2	0,920	1,394	0,865	-0,120	0,928	0,007	0,701
3	0,833	1,435	0,861	-0,126	0,837	0,012	1,200
4	0,752	1,482	0,862	-0,124	0,758	0,007	0,682
5	0,903	1,401	0,847	-0,144	0,893	0,032	3,208
6	0,733	1,495	0,868	-0,117	0,744	0,006	0,642
7	0,903	1,401	0,857	-0,130	0,904	0,015	1,532
8	0,800	1,453	0,852	-0,138	0,795	0,000	0,004
9	0,903	1,401	0,854	-0,134	0,901	0,006	0,581
10	0,918	1,395	0,846	-0,146	0,907	0,046	4,619

Как видим, частные коэффициенты эластичности по странам несколько отличаются от аналогичных средних показателей по совокупности наблюдений. Так, в Бразилии произошел наибольший процентный рост индекса человеческого развития у по сравнению с другими странами с изменением ожидаемой продолжительности жизни х₁ на 1 % при условии, что х₂ зафиксирован на среднем уровне. В той же стране наблюдается наименьшее процентное снижение индекса человеческого развития у при изменении суточной калорийности питания х₂ на 1 % и закреплении ожидаемой продолжительности жизни х₁ на среднем уровне.

2. Средняя ошибка аппроксимации для множественной регрессии рассчитывается по той же формуле, что и для парной регрессии:

(1.32)

где теоретическое значение результата, полученное путем подстановки в построенную модель соответствующих значений факторов х_i .

Отсюда, прежде чем рассчитать среднюю ошибку аппроксимации, необходимо определить теоретическое значение результативного признака

Результаты расчета средней ошибки аппроксимации представлены в табл. 1.4.

Средняя ошибка аппроксимации составит:

Поскольку величина средней ошибки аппроксимации не превышает (8 – 10) %, то линейная форма модели, описывающей зависимость индекса человеческого развития от ожидаемой продолжительности жизни и суточной калорийности питания, подобрана, верно.

3. Линейные коэффициенты частной корреляции рассчитаны по рекуррентным формулам (1.28) – (1.29) и составили:

Если сравнить значения коэффициентов парной и частной корреляции, то приходим к выводу, что теснота и направление связи для ожидаемой продолжительности жизни и индекса человеческого развития не изменилась, в то же время для суточной калорийности питания и индекса человеческого развития связь осталась умеренной, но изменилось ее направление с прямого на обратное. Это объясняется имеющей место межфакторной связью.

4. Множественный коэффициент корреляции для линейной модели рассчитаем по формулам (1.19) и (1.23):

или .

Расчет по обеим формулам позволил получить одинаковый результат: связь между индексом человеческого развития, ожидаемой продолжительностью жизни и суточной калорийностью питания тесная прямая.

Для расчета множественного коэффициента детерминации используем формулу (1.24), согласно которой R² _x1x2 = 0,963² = 0,927.

Вариация индекса человеческого развития на 92,7 % объясняется вариацией ожидаемой продолжительности жизни и суточной калорийности питания.

5. Целесообразность включения в уравнение фактора х₁ после того, как в него был включен фактор х₂ оценивает частный критерий Фишера F_x1. Соответственно, F_x2 указывает на целесообразность включения в модель фактора х₂ после фактора х₁.они рассчитываются по формулам (1.32) – (1.33):

F _табл. = 5,59 при

Сравнивая F _табл. и F _хi., приходим к выводу о нецелесообразности включения в модель фактора х₂ после фактора х₁, так как прирост доли объясненной вариации результативного признака за счет включения дополнительного фактора х₂ в модель статистически незначим.

6. Оценку статистической значимости уравнения регрессии в целом проводим с помощью критерия Фишера, который рассчитывается по формуле (1.30):

F _табл. = 4,74 при

Сравнивая F _табл. и F, делаем заключение о статистической значимости построенной линейной модели. Следовательно, ее можно использовать для анализа и прогноза.

Существенность параметров полученной модели оценим, используя критерий Стьюдента, рассчитанный по формуле (1.34):

t _табл. = 2,36 при

Сравнивая t _табл и t _факт. приходим к выводу, что так как >2,36 коэффициент регрессии b₁ является статистически значимым, надежным. Так как < 2,36, приходим к заключению, что величина b₂ является статистически незначимой и фактор – суточную калорийность питания нет смысла включать в эконометрическую модель.