Вопросы для самопроверки

1. Что понимается под суммой двух событий? Приведите примеры.

2. Сформулируйте теорему сложения вероятностей для несовместных событий.

3. Что понимается под полной группой событий? Чему равна сумма вероятностей событий, составляющих полную группу?

4. Какие события называются противоположными? Чему равна сумма вероятностей противоположных событий?

5. Какие события называются независимыми, зависимыми? Приведите примеры.

6. Что называется условной вероятностью события?

7. Что понимается под произведением двух событий? Приведите примеры.

8. Сформулируйте теоремы умножения вероятностей для независимых и зависимых событий.

9. Сформулируйте теорему сложения вероятностей для совместных событий.

10. Приведите формулу полной вероятности.

Тема 11. Повторение испытаний

Литература: (1), гл.V§1-4, упр.1-3, 5, 7, 8, гл.VI, §5, упр.4:(4).ч.II,гл.II, §5-8, упр.1-13.

Пусть проводится n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность наступления события А одинакова и равна p, а значит, вероятность ненаступления события А в каждом испытании также одинакова и равна q=1-р.

Тогда вероятность того, что в n испытаниях событие А наступит ровно к раз вычисляют по формуле Бернулли: где

Если n велико , то формула Бернулли требует громоздких вычислений, поэтому пользуются асимптотической формулой Лапласа:

где

-четная функция Лапласа, т.е. .

Значения этой функции затабулированы

в приложении 1.

Если же n большое число , а вероятность появления события в каждом испытании очень мала , то используют формулу Пуассона:

При решении практических задач иногда важно определить вероятность того, что событие наступит не менее раз и не более раз. Для определения этой вероятности служит интегральная теорема Лапласа:

где

- нечетная функция Лапласа (см. приложение 2).

Задача 22. Всхожесть семян данного сорта растений оценивается вероятностью Посеяно 6 семян. Найти вероятность того, что будет:

а) пять всходов; б) не менее пяти всходов; в) не менее двух всходов.

Решение.

а) По условию задачи n=6, k=5, тогда

Подставим эти данные в формулу Бернулли:

б) Пусть событие А – из 6 семян будет не менее 5 всходов.

Это событие А состоит из двух событий:

1) из 6 семян будет 5 всходов;

2) из 6 семян будет 6 всходов.

По теореме вероятностей несовместных событий искомая вероятность будет равна:

Первое слагаемое найдено в предыдущем пункте.

Второе слагаемое тоже определим по формуле Бернулли: (при этом надо иметь в виду, что 0!=1).

Следовательно,

в) Пусть событие А - из 6 семян будет не менее 2 всходов,

т. е. или 2 всхода, или 3 всхода, или 4 всхода, или 5 всходов, или 6 всходов. Тогда событием , противоположным событию А, будет не более 1 всхода из 6 семян, т. е. или один всход, или ни одного.

На основании теоремы сложения вероятностей не совместных событий:

Вероятности определяются по формуле Бернулли:

Значит,

По свойству вероятности противоположных событий

следовательно,

Задача 23. Вероятность прорастания семян данного сорта растений равна 0,75. Посеяно 300 семян. Найти наивероятнейшее число всходов.