Тема 3. Введение в анализ

Литература: [3], гл. VI, § 1—9, упр. 2, 3, 9, гл. VII, § 1—13, упр. 1, 5--10, гл. VIII, § 1-6, упр. 1, 5, 8.

З адача 3. Вычислить пределы:

а) б)

в) г)

д) е) ж)

Решение.

а) При вычислении пределов удобно пользоваться следую­щим правилом: если функция у = f(x) непрерывна при x = а, то .

Под знаком предела имеем элементарную функцию, не­прерывную при x = 3. Поэтому для вычисления предела до­статочно вместо x подставить его предельное значение:

б ) При x = 4 числитель дроби равен 3, а ее знаменатель равен нулю, т.е. при x=4 числитель является ограниченной функ­цией, а знаменатель есть функция бесконечно малая. Поэтому дробь является бесконечно большой. Предел бесконечно большой функции обозначают символом (бесконечность), то есть

в) Подстановка предельного значения аргумента x =2 при­водит к неопределенному выражению вида . Для устране­ния этой неопределенности разложим числитель и знаменатель дроби на линейные множители по формуле , где - корни уравнения и сократим дробь на (x—2).

г) Подстановка предельного значения аргумента при­водит к неопределенному выражению вида . Для устране­ния этой неопределенности разделим числитель и знаменатель дроби на х² (наивысшую степень стоящих в числителе и знаменателе дроби многочленов) и применим основные теоремы о пределах:

д ) Подстановка предельного значения аргумента в выражение при­водит к неопределенному выражению вида . Для устране­ния этой неопределенности умножим и разделим это выражение на сопряженное выражение, т.е. выражение с противоположным знаком.

( при )

е ) Известно, что предел отношения синуса бесконечно ма­лой дуги к самой дуге равен единице, то есть

Эта формула называется первым замечательным пределом. Из нее вытекает следующее следствие: , где k — отличное от нуля число.

П реобразуем стоящее под знаком предела выражение, воспользуемся свойствами пределов и следствием из форму­лы первого замечательного предела. Тогда

ж) Для решения воспользуемся вторым замечательным пределом, который имеет две формы записи: или

Вопросы для самопроверки

1. Какие величины называются постоянными? перемен­ными?

2. Сформулируйте определение функции.

3. Что называется областью определения функции? обла­стью изменения функции?

4. Назовите способы задания функциональной зависи­мости.

5. Перечислите основные элементарные функции.

6. Что называется числовой последовательностью?

7. Что называется пределом числовой последовательно­сти?

8. Что называется пределом функции?

9. Сформулируйте основные теоремы о пределах функ­ций.

10. Какие величины называются бесконечно малыми? бес­конечно большими?

11. Перечислите свойства бесконечно малых и бесконечно больших величин.

12. Напишите формулы первого и второго замечательных пределов.

13. Сформулируйте понятия односторонних пределов функ­ции в точке.

14. Какая функция называется непрерывной в точке? (на отрезке?)

15. Приведите классификацию точек разрыва функции.

16. Назовите свойства непрерывных на отрезке функций.