Тема 4. Производная и дифференциал функции

Литература [3], гл.IX,§1—5, гл.X, §1-15, упр.1-20, гл.XII, §1-7, упр.1-5, 7.

Д ля справок приведем основные правила и формулы диф­ференцирования элементарных и сложных функций.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9. 9.

10. 10.

11. 11.

12. 12.

13. 13.

14. 14.

15. 15.

16. 16.

17. 17.

18. 18.

19. 19.

20. 20.

21. 21.

2 2. 22.

23. 23.

Задача 4. Найти производные данных функций:

а) б)

в) г)

д)

Решение.

а) Преобразуем функцию к следующему виду:

П рименив правило (3) дифференцирования суммы функций и формулы (1), (6),(9), получим:

6 ) Применим правило (4) дифференцирования произведения функций и формулы (3), (9), (16).

в) Для нахождения производной функции используем пра­вило (5) дифференцирования частного, формулы (3), (16), (17), (1). Заметим, что - сложные тригонометрические функции вида где

г ) Преобразуем данную функцию, используя свойство логарифма корня:

Эта функция сложная; запишем ее в виде где

По правилу (14) дифференцирования сложной функции имеем:

д ) Данная функция является сложной. Обозначим тогда у = u⁶. По правилу (9) и (13) дифференцирования сложной функции имеем:

Задача 5. Найти дифференциалы следующих функций:

а ) б)

Решение.

Дифференциал dy функции у = f(х) равен произведению производной у' на дифференциал dx аргумен­та х, то есть dy = y'dx. а)

б)

Вопросы для самопроверки

1. Что называется производной функции?

2. Каков геометрический смысл производной?

(ее физиче­ский смысл?)

3. Напишите правила и формулы дифференцирования ос­новных элементарных функций.

4. Как найти производную сложной функции?

5. Что называется дифференциалом функции?

6. Каков геометрический смысл дифференциала функции?

7. Перечислите свойства дифференциала функции.

Тема 5. Приложения производной

Литература: [3], гл.XI, §1-3, 7-10; [5], гл.7, §4.1162,1167,1201.

Задача 6. Исследовать функцию и построить ее график.

Решение.

При исследовании функции методами дифференциального исчисления необходимо:

а) найти область определения функции;

б) исследовать функцию на непрерывность;

в) найти точки пересечения графика функции с осями координат;

г) определить интервалы возрастания и убывания функции и точки ее экстремума;

д) найти интервалы выпуклости, вогнутости функции и точки перегиба графика функции.

а) Областью определения данной функции является множество всех действительных чисел.

б) Данная функция является элементарной, поэтому она непрерывна в своей области определения, то есть на интер­вале

в) Для нахождения точки пересечения графика функции с осью Оу подставим в уравнение функции x= 0. Тогда у = 5. Значит, график функции пересечет ось Оу в точке А(0; 5).

Для определения точки пересечения исследуемой кривой с осью Ох следует решить уравнение . Из-за отсутствия целочисленных корней этого уравнения его реше­ние громоздко (оно может быть найдено, например, по фор­мулам Кардано) и не приводится здесь.

г) Для нахождения интервалов возрастания и убывания функции определим интервалы знакопостоянства ее первой производной.

- точки, подозрительные на экстремум.

Промежутки знакопостоянства произ­водной определяем методом интервалов.

-1

3

+ _ +

Данная функции возрастает на интервалах (здесь производная у' положительна) и убывает на интервале (-1; 3) (здесь у'<0).

Для исследования критических точек на экстремум воспользуемся первым достаточным признаком эк­стремума функции: если функция f(х) дифференцируема в точке и ее окрестности и ее производная слева от этой точки положительна (отрицательна), а справа — отри­цательна (положительна), то в точке функция f(х) имеет максимум (минимум).

При переходе через точку производная у' меняет свой знак с плюса на минус, поэтому в этой точке функция имеет максимум

Значит, – точка максимума.

Так как при переходе через точку производная у' меняет свой знак с минуса на плюс, то С(3; -4) - точка минимума.

д) Для определения интервалов выпуклости и вогнутости и точек перегиба графика функции используем следующие достаточные признаки: если вторая производная дважды дифференцируемой функции f(х) положительна (отрицатель­на) в каждой точке интервала (а; b), то на этом интервале график функции f(x) является вогнутым (выпуклым);

если и либо не существует и при пере­ходе через точку вторая производная меняет свой знак, то - точка перегиба кривой у = f(х).

Найдем вторую производную данной функции:

– точка, подозрительная на перегиб.

- +

1

На интер­вале вторая производная отрицательна, поэтому гра­фик функции на этом интервале является выпуклой кривой;

На интер­вале вторая производная положительна, поэтому график функции вогнут на этом интервале.

Так как при переходе через точку х=1 вторая производная меняет свой знак, то х=1 есть абсцисса точки перегиба.

- точка перегиба кривой.

Результаты исследований приведены в таблице 3.

x		-1	(-1;1)	1	(1;3)	3
y	Возрастает выпукла	max	Убывает выпукла	Перегиб	Убывает вогнута	min	Возрастает вогнута
	+	0	-	-	-	0	+
	-	-	-	0	+	+	+

График функции изображен на рис. 2.

рис. 2