Вопросы для самопроверки

1. Какая функция называется первообразной для данной функции?

2. Что называется неопределенным интегралом от данной функции?

3. Назовите свойства неопределенного интеграла.

4. Напишите табличные формулы неопределенных инте­гралов.

5. В чем сущность метода подстановки в неопределенном интеграле?

6. Напишите формулу интегрирования по частям для не­определенного интеграла.

Тема 8. Определенный интеграл

Литература: [3], гл.XIV, §1-11, упр.2,7, гл.XV,§1-7, упр.1, 6,18.

Задача 9. Вычислить определенные интегралы:

а) б) в)

Решение.

Для вычисления определенных интегралов применяют формулу Ньютона-Лейбница: где F(x) – первообразная для функции f(x).

а)

б) Вычислим данный интеграл методом подстановки. С учетом новых пределов интегрирования по переменной t получим:

в)

Задача 10. Вычислить площадь фигуры, ограниченной па­раболой и прямой

Решение.

Площадь S фигуры, ограниченной снизу кри­вой сверху кривой слева и справа соот­ветственно прямыми x =a, х =в, вычисляется по формуле: (***)

Найдем точки пересечения параболы и прямой, решив систему уравнений:

Значит, парабола и прямая пересекаются в точках

А(-3;2) и В(0;- 1) (см.рис.3)

у

А(-3;2)

В(0;-1)

х

рис.3

Подставив в формулу (***)

получим:

Вопросы для самопроверки

1. Что называется определенным интегралом от функции у= f(х) на отрезке [а; b]?

2. Каков геометрический смысл определенного интеграла?

3. Назовите свойства определенного интеграла.

4. Напишите формулу Ньютона-Лейбница.

5. Напишите формулу интегрирования по частям в опре­деленном интеграле.

Тема 9. Основные понятия теории вероятностей

Литература:(1),гл.I,1-3;(4),ч.II,гл.1,§1,2.

К числу основных понятий теории вероятностей относятся такие как испытание, событие, вероятность события, относительная частота появления события в испытаниях.

Событие – это результат (исход) испытания.

Вероятность – это число, характеризующее степень возможности появления события.

Каждый из возможных исходов испытания называется элементарным исходом.

Исходы, в которых интересующее событие А наступает, называются благоприятными этому событию.

Вероятность события А – это отношение числа благоприятных исходов испытания к числу элементарных исходов испытания:

Все исходы должны быть равновозможными, единственно возможными и несовместными.

Относительная частота события А – это отношение числа испытаний, в которых событие А наступило к общему числу проведенных испытаний:

Хотя по внешнему виду формулы для вычисления вероятности и относительной частоты одинаковы, сами эти понятия не тождественны. Различие между вероятностью и относительной частотой состоит в том, что вероятность вычисляют до опыта, а относительная частота может быть вычислена лишь после того, как опыт будет произведен.

Важным свойством относительной частоты является ее устойчивость. Это свойство состоит в том, что при многократных повторениях испытаний относительные частоты группируются около некоторого постоянного числа, которое и принимают за статистическую вероятность события.

Задача 11. В ящике из 80 одинаковых деталей для комбайнов, полученных колхозом, 8 деталей нестандартных. Какова вероятность того, что наугад взятая деталь окажется стандартной?

Решение.

Обозначим через А событие - «взятая наугад деталь стандартная».

Всего деталей 80, поэтому общее число возможных элементарных исходов n=80. Эти исходы единственно возможные (одна деталь взята обязательно) и равновозможные (деталь взята наудачу). Благоприятствуют событию А лишь 72 исхода (72 детали стандартных). Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию, к числу всех элементарных исходов:

Задача 12. Из 25 посаженных деревьев прижилось 20. Определить относительную частоту прижившихся деревьев.

Решение.

Обозначим через А событие - «посаженное дерево прижилось».

Относительная частота прижившихся деревьев равна