Решение.

Наивероятнейшее число наступления события в независимых испытаниях определяется с помощью двойного неравенства где

n - число всех испытаний;

р - вероятность появления события в одном испытании;

q - вероятность непоявления события в одном испытании.

По условию задачи р=0,75; q=0,25; n=300.

Тогда

Так как - целое число, то

Задача 24. Завод сортовых семян выпускает гибридные семена кукурузы. Известно, что семена первого сорта составляют 90%. Определить вероятность того, что из взятых наудачу для проверки 400 семян 354 будут семенами первого сорта.

Решение.

Если производится большое число n независимых испытаний в каждом из которых вероятность наступления события А постоянна и равна р, то вероятность вычисляется по локальной теореме Лапласа.

Дано: значит

Найдем

Используя помещенное в таблице 1 приложение значений функции , найдем

По формуле получим

Задача 25. Вероятность того, что зерно заражено вредителями, равна 0,002. Найти вероятность того, что из 2000 зерен окажется не более двух зараженных зерен.

Решение.

Пусть событие А – из 2000 зерен окажется не более двух зараженных зерен.

Это событие состоит из трех событий:

1) Из 2000 зерен зараженных будет 2 зерна;

2) Из 2000 зерен зараженных будет 1 зерно;

3) Из 2000 зерен зараженных зерен не будет.

По теореме сложения вероятностей не совместных событий искомая вероятность будет равна:

Так как n=2000 достаточно велико, а вероятность наступления события в каждом из n независимых испытаний достаточно мала р=0,002, то вероятность того , что событие в этих n испытаниях наступит ровно к раз вычисляется по формуле Пуассона:

Задача 26. Принимая вероятность вызревания кукурузного стебля с тремя початками равной 0,8, найти вероятность того, что среди 2500 стеблей опытного участка число указанных стеблей будет от 1980 до 2030.

Решение.

Если вероятность наступления события А в каждом из n независимых испытаний постоянна и равна р, а число n достаточно велико, то вероятность того, что событие А в этих испытаниях наступит не менее раз и не более раз вычисляется в силу интегральной теоремы Лапласа по приближенной формуле

По условию задачи n= 2500; р=0,8; q= 0,2; =1980; =2030.

Используя помещенное в таблице 2 приложение значений функции и, учитывая, что , получим

Вопросы для самопроверки

1. Что понимается под последовательностью из n испытаний?

2. Напишите формулу Бернулли. При решении какого типа задач она применяется?

3. Что такое наивероятнейшее число наступления события? Как вычисляется это число?

4. Сформулируйте локальную теорему Лапласа. При каких условиях она применяется?

5. Напишите формулу Пуассона. При каких условиях она применяется?

6. Сформулируйте интегральную теорему Лапласа.

7. Напишите формулу для вычисления вероятности отклонения относительной частоты от вероятности появления события в независимых испытаниях.

Тема 12. Случайная величина и ее числовые характеристики

Литература: (1), гл. VI , § 1-3, упр.1, гл. VII, § 1-3, упр. 1, гл. VIII, § 1-4, 7, упр.4, гл. XII,§ 2.5,7,8, гл. IV, § 1, 4 – 6., (4), ч. II, гл. III,§ 9-12, упр.1, 3, 4, 7, 9.

Понятие случайной величины - основное в теории вероятностей.

Случайной называют величину, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значение, наперед неизвестное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены.

В этой теме рассматриваются два вида случайных величин: дискретные и непрерывные.

Дискретные – это величины, возможные значения которых представляют собой изолированные числа, то есть числа, отделенные промежутками не содержащими возможных значений.

Непрерывные – это величины, возможные значения которых сплошь заполняют некоторый промежуток.

Следует хорошо усвоить способы задания случайных величин дискретного и непрерывного типов. Обратите внимание на то, что интегральная функция служит для задания как непрерывной, так и дискретной случайной величины. Дифференциальная же функция применима лишь для величин непрерывных.

Далее необходимо усвоить определение числовых характеристик случайных величин, уяснить их смысл ( математическое ожидание характеризует среднее значение возможных значений случайной величины, а дисперсия и среднее квадратическое отклонение – рассеяние возможных значений вокруг математического ожидания ).

В эту тему входит изучение одного из важнейших распределений непрерывной случайной величины –нормального распределения. Широкое распространение нормального распределения объясняет теорема Ляпунова: закон распределения суммы достаточно большого числа независимых случайных величин с произвольными законами распределения близок к нормальному распределению. Необходимо научиться находить вероятность того, что нормально распределенная случайная величина примет значение, принадлежащее заданному интервалу и вероятность того, что отклонение нормально распределенной случайной величины от ее математического ожидания по абсолютной величине не будет превосходить заданного положительного числа.

В заключение следует разобрать вопросы, относящиеся к закону больших чисел. Закон больших чисел выражается рядом теорем (Чебышева, Бернулли и др.), указывающих условия, при выполнении которых совокупное действие очень многих случайных причин приводит к результату, почти не зависящему от случая. Наибольшее внимание надо уделить теореме Чебышева и значению ее для практики. Это теорема обосновывает статистический метод оценки математического ожидания. Среднее арифметическое при большом числе испытаний можно принять за математическое ожидание случайной величины.

Задача 27. Задан закон распределения дискретной случайной величины:

Х	3	8	13	18	23
Р	0,3	0,3	0,2	0,1	0,1

Вычислить: 1) Математическое ожидание;

2) Дисперсию;

3) Среднее квадратическое отклонение.

Решение.

1) Математическое ожидание дискретной случайной величины вычисляется по формуле:

Подставляя данные задачи в эту формулу, получим:

2) Дисперсия дискретной случайной величины вычисляется по формуле:

Подставляя данные задачи в эту формулу, получим:

3) Среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины вычисляется по формуле:

Задача 28. Средняя длина листьев садовой земляники на некотором участке равна 7,4 см. Отдельные отклонения от этого значения случайные, распределены нормально со средним квадратическим отклонением 0.8 см. Наугад взят один лист. Найти вероятность того, что его длина:

1) будет в пределах от 7,0 см до 8,2 см;

2) отклонится от средней длины не более чем на 0,2 см.

Решение.

Обозначим Х - случайная длина листа.

1) Вероятность того, что случайная величина Х, имеющая нормальное распределение, примет одно из своих значений в интервале вычисляется по формуле:

- функция Лапласа (см. приложение 2).

По условию задачи

Подставляя эти данные в формулу, получим:

Так как функция нечетная, то

По таблице 2 приложения находим

Искомая вероятность равна

2. Вероятность того, что отклонение случайной величины Х, имеющей нормальное распределение, от ее математического ожидания а по абсолютной величине не будет превосходить заданного положительного числа определяется по формуле:

По условию задачи

Следовательно,

По таблице 2 приложения находим

Задача 29. Средняя глубина посева семян составляет 4,5 см, отдельные отклонения от этого значения случайный, распределены нормально со средним квадратическим отклонением 0,4 см. Определить:

1) Долю семян, посеянных на глубину более 5 см.,

2. Долю семян, посеянных на глубину менее 4,3 см.

Решение.

Обозначим Х - случайная глубина посева семян.

По условию

1. Доля семян посеянных на глубину более 5 см - это вероятность того, что случайно взятое семя будет посеяно на глубину более 5 см, т. е. это вероятность события Х >5. Определим эту вероятность. Здесь не указана наибольшая граница интервала, она может быть какой угодно. При решении задач ее принимают равной бесконечности, а функцию Лапласа Ф(∞)=0,5.

Таким образом, 10,56% семян посеяно на глубину более 5см.

2. Здесь нужно найти вероятность события Х<4,3. Так как не указана наименьшая граница интервала, то при решении задач ее принимают равной минус бесконечности. В нашей же задаче она равна нулю,

т. к. речь идет о глубине посева семян. Тогда

Таким образом, 30,85 % семян посеяно на глубину менее 4,3 см.