2.2. Переходная и импульсная характеристики линейной системы

Е диничная функция (единичный скачок) представляется выражением:

1 при t ≥ ;

1(t – ) =

0 при t  .

Реакция линейной цепи на единичный скачок называется переходной характеристикой h(t) цепи.

Д ельта-импульс определяется следующими равенствами:

0 при t  ;

(t – ) =

1 при t = ,

при этом

Реакция линейной цепи на дельта-импульс называется импульсной характеристикой g(t) цепи.

Анализ преобразования сигналов с использованием переходной характеристики называется методом анализа во временной области (метод интеграла наложения).

2.3. Простейшие линейные цепи и их характеристики

2.3.1. Цепи интегрирующего типа (фильтры нижних частот)

Простейшие линейные цепи интегрирующего типа и их характеристики приведены на рис. 2.1.

Комплексный коэффициент передачи RC-цепи интегрирующего типа:

_.

О тсюда модуль комплексного коэффициента передачи АЧХ и ФЧХ соответственно равны: , .

Переходная характеристика RC-цепи интегрирующего типа:

.

Вид АЧХ RC-цепи интегрирующего типа (рис 2.1, в) показывает, что RC-цепь можно классифицировать как фильтр нижних частот (ФНЧ). При соответствующем выборе постоянной времени можно существенно ослабить (отфильтровать) высокочастотные составляющие входного сигнала и практически выделить постоянную составляющую (если она имеется). За граничную частоту такого фильтра принимают частоту, на которой , т. е. коэффициент передачи мощности сигнала снижается в 2 раза. Ее часто называют частотой среза _с (граничной частотой ₀). Частота среза – .

Дополнительный фазовый сдвиг, вносимый RC-цепью интегрирующего типа на частоте _с, составляет – /4.

2.3.2. Цепи дифференцирующего типа (фильтры верхних частот)

Простейшие линейные цепи дифференцирующего типа и их характеристики приведены на рис. 2.2.

К омплексный коэффициент передачи RC-цепи дифференцирующего типа: K(jω) = jωτ/(1 + jωτ).

АЧХ и ФЧХ (рис. 2.2, в) даются соответственно выражениями:

, .

Переходная характеристика RC-цепи дифференцирующего типа: .

АЧХ RC-цепи дифференцирующего типа показывает, что такая цепь эффективно пропускает высокие частоты, поэтому ее можно классифицировать как фильтр верхних частот (ФВЧ). За граничную частоту такого фильтра принимают частоту, на которой . Ее часто называют частотой среза _С (граничной частотой ₀).Частота среза .

При больших постоянных времени τ RC-цепи дифференцирующего типа напряжение на резисторе повторяет переменную составляющую входного сигнала, а его постоянная составляющая полностью подавляется. RC-цепь в этом случае называется разделительной.

2.3.3. Частотно-избирательные цепи

Частотно-избирательные цепи пропускают на выход только колебания с частотами, лежащими в относительно узкой полосе вокруг центральной частоты. Такие цепи часто называют линейными полосовыми фильтрами. Простейшими полосовыми фильтрами являются колебательные контуры, образованные элементами L и C.

Колебательные контуры в зависимости от соединения образующих их элементов по отношению к выходным зажимам подразделяются на последовательные и параллельные.

Схема последовательного колебательного контура, когда выходным сигналом является напряжение, снимаемое с емкости, приведена на рис. 2.3. В этой схеме R – активное сопротивление катушки индуктивности.

Комплексный коэффициент передачи такого контура равен:

,

.

На частоте входных колебаний в последовательном колебательном контуре имеет место резонанс напряжений, выражающийся в том, что реактивные сопротивления емкости и индуктивности становятся равными по величине и противоположными по знаку. При этом общее сопротивление контура становится чисто активным, а ток в контуре имеет максимальное значение.

Величина представляет собой модуль сопротивления любого из реактивных элементов колебательного контура на резонансной частоте и называется характеристическим (волновым) сопротивлением контура.

Отношение активного сопротивления к характеристическому называют затуханием контура:

Обратную величину d именуют добротностью контура:

.

На резонансной частоте модуль комплексного коэффициента передачи вычисляется следующим образом:

Переходная характеристика контура:

В ходным сигналом параллельного колебательного контура (рис. 2.4) может быть только токовый сигнал. Если источником сигнала является генератор напряжения, будет происходить шунтирование контура.

Комплексный коэффициент передачи такого контура имеет вид:

;

Комплексный коэффициент передачи параллельного колебательного контура (общее сопротивление контура) является вещественным на частоте _Р, удовлетворяющей условию:

где ω₀– резонансная частота последовательного колебательного контура.

На частоте _Р модуль комплексного коэффициента передачи высчитывается следующим образом:

Для используемых на практике параллельных колебательных контуров с высокой добротностью активное сопротивление R значительно меньше сопротивления L, поэтому для K(j) будем считать:

;

Как следует из этих выражений, резонансная частота равна:

Для высокодобротного параллельного контура переходная характеристика высчитывается следующим образом:

Полоса пропускания колебательных контуров ∆f определяется аналогично полосе пропускания RC-цепи, т. е. как область частот, в пределах которой модуль комплексного коэффициента передачи не снижается ниже уровня от максимального (при резонансе) значения (рис. 2.5).

З ная полосу пропускания контура ΔF и его резонансную частоту f₀ добротность контура Q можно определить по формуле: Q = f₀/∆F.