25. Умова опуклості або угнутості кривої.
Друга похідна. Опукла й увігнута функція.
Достатня умова ввігнутості ( опуклості ) функції.
Точка перегину.
Друга похідна. Якщо похідна f ' ( x ) функції f ( x ) диференційовна в точці ( x0 ), то її похідна називається другою похідною функції f ( x ) у точці ( x0 ), і позначається f '' ( x0 ).
Функція
f
(
x
) називається опуклою
на інтервалі ( a,
b
), якщо її графік на цьому інтервалі
лежить нижче
дотичної, проведеної до кривої
y
= f (
x
) у будь-якій точці ( x0
,
f
(
x0
) ), x0
(
a,
b
).
Функція f ( x ) називається ввігнутою на інтервалі ( a, b ), якщо її графік на цьому інтервалі лежить вище дотичної, проведеної до кривої y = f ( x ) у будь-якій точці ( x0 , f ( x0 ) ), x0 ( a, b ).
Достатня умова ввігнутості ( опуклості ) функції.
Нехай функція f ( x ) двічі диференційовна ( має другу похідну ) на інтервалі ( a, b ), тоді:
якщо f '' ( x ) > 0 для будь-якого x ( a, b ), то функція f ( x ) є ввігнутою на інтервалі ( a, b );
якщо f '' ( x ) < 0 для будь-якого x ( a, b ), то функція f ( x ) є опуклою на інтервалі ( a, b ) .
Точка, при переході через яку функція міняє опуклість на ввігнутість або навпаки, називається точкою перегину. Звідси треба, що якщо в точці перегину x0 існує друга похідна f '' ( x0 ), те f '' ( x0 ) = 0.
|
|
П р и м е р . |
Розглянемо графік функції y = x3 :
Ця функція є ввігнутою при x > 0 й опуклої при x < 0. Справді, y'' = 6x, але 6x > 0 при x > 0 й 6x < 0 при x < 0, отже, y'' > 0 при x > 0 й y'' < 0 при x < 0, звідки треба, що функція y = x3 є ввігнутою при x > 0 й опуклої при x < 0. Тоді x = 0 є точкою перегину функції y = x3. |
26. Асимптоти кривої. Побудова графіка функції.
Асимптоти кривих
Нехай крива задана рівнянням , де є неперервною функцією на відрізку . Тоді задана крива всіма своїми точками знаходитиметься в замкненому прямокутнику , де є найбільше значення функції на відрізку .
Якщо функція задана на нескінченному проміжку або у випадку, коли проміжок скінчений, але містить точки розриву другого роду заданої функції, то криву не завжди можна розмістити в прямокутнику. Тоді крива або окремі її вітки йдуть в нескінченність. При цьому може трапитися так, що крива на нескінченності, "розпрямляючись”, наближається до деякої прямої лінії (рис.6.21).
Означення. Пряма лінія називається асимптотою кривої , якщо відстань точки кривої до прямої прямує до нуля, коли точка по кривій рухається в нескінченність, тобто
Загальна схема дослідження функції та побудова її графіка
Наочне уявлення про хід зміни функції дає її графік, тому його побудова повинна бути заключним етапом дослідження функції, в якому мають використовуватися всі результати її дослідження. Для зручності дослідження функції рекомендуємо вести в деякій певній послідовності.
1. Знайти область існування функції. Це дає змогу визначити ті точки осі абсцис, над якими пройде чи не пройде графік функції.
2. Знайти точки перетину графіка з координатними осями. Для цього треба розв'язати дві системи рівнянь:
Перша система дає точки перетину з віссю , друга – з віссю .
3. Дослідити функцію на періодичність, парність і непарність. Розв'язання цього питання полегшить побудову графіка в тому розумінні, що її доведеться виконувати не в усій області існування функції, а тільки в її частині. Так, якщо - періодична функція з періодом , то графік достатньо побудувати на відрізку числової осі, довжина якого дорівнює , а потім цю частину графіка повторити на кожному відрізку довжини . Якщо функція парна, то графік функції симетричний відносно осі , якщо не тільки при , а потім симетрично відобразити і на від'ємні .
4. Знайти точки розриву функції та дослідити їх характер. Це допоможе встановити вигляд графіка функції поблизу цих точок.
5. Знайти значення функції на кінцях відрізків, де визначена функція. Якщо область існування функції є інтервал (півінтервал) або кілька інтервалів (півінтервалів), то треба знайти граничне значення функції, коли наближається до одного з кінців розглядуваних проміжків.
6. Визначити інтервали монотонності функції.
7. Знайти екстремальні точки і побудувати їх на площині.
8. Знайти інтервали вгнутості та опуклості кривої, яка є графіком функції.
9. Знайти точки перетину і побудувати їх на площині.
10. Знайти асимптоти графіка функції.
11. Побудувати графік функції.