51. Полный дифференциал функции нескольких переменных.

Пусть на области D задана функция двух переменных z =f(х,у), M₀(x₀;y₀) - внутренняя точка области D, M(x₀+Δx;y+Δy) - "соседняя" с M₀ точка из D.

Рассмотрим полное приращение функции:

Если Δz представлено в виде:

где A, B - постоянные (не зависящие от Δx, Δy), - расстояние между M и M₀, α(Δx,Δy) - бесконечно малая при Δx 0, Δy 0; тогда функция z =f(х,у) называется дифференцируемой в точке M₀, а выражение

называется полным дифференциалом функции z =f(х;у) в точке M₀.

Теорема 1.1. Если z =f(х;у) дифференцируема в точке M₀, то

Частной производной от функции по независимой переменной называется производная , вычисленная при постоянном . Частной производной по y называется производная , вычисленная при постоянном . Для частных производных справедливы обычные правила и формулы дифференцирования.

52. Означення подвійного та повторного інтегралів. Обчислення подвійного інтеграла.

Означення подвійного інтеграла одночасно дає і спосіб його обчислення. Однак цей спосіб досить складний, тому розглянемо інший, який зводиться до обчислення так званого повторного інтеграла  двох визначених інтегралів.

Якщо  для , то подвійний інтеграл виражає об’єм циліндричного тіла з основою , обмеженого поверхнею  та циліндричною поверхнею, твірні якої паралельні осі , а напрямною є межа області  (рис. 4).

 

Рис. 4

 

Обчислимо цей об’єм за допомогою методу паралельних перерізів

                                                      (10)

де    площа перерізу тіла площиною, перпендикулярною до осі , а  та    рівняння площин, що обмежують задане тіло.

Спочатку розглянемо випадок, коли область  обмежена прямими , , де , та неперервними кривими   , причому  (рис. 5).

Провівши через точку  (  ), перпендикулярну до осі  площину, дістанемо у перерізі криволінійну трапецію , яка перетне область  по прямій . Точку  називатимемо точкою входу в область , а точку    точкою виходу з неї. Їх ординати позначимо відповідно . Тоді   .

Визначена таким чином область називається правильною в напрямі осі .

Означення. Область  називається правильною в напрямі осі  (осі  ), якщо довільна пряма, яка проходить через внутрішню точку області  паралельно осі  (осі  ), перетинає межу області не більше, ніж у двох точках.

Правильна область в напрямі осі  зображена на рис. 5, а правильна область в напрямі осі    на рис. 6.

 

              Рис. 5                                         Рис. 6

 

Площа  трапеції  дорівнює визначеному інтегралу

                                   

Підставляючи у рівність (10) вираз для , дістанемо

                                             

Оскільки об’єм  циліндричного тіла дорівнює подвійному інтегралу , то маємо

або (11)

Праву частину формули (11) називають повторним інтегралом від функції  по області . У повторному інтегралі (11) інтегрування виконується спочатку по змінній  (при цьому  вважається сталою), а потім по змінній . Інтеграл по змінній  називають внутрішнім, а по змінній    зовнішнім. У результаті обчислення внутрішнього інтеграла одержуємо певну функцію від однієї змінної . Інтегруючи цю функцію в межах від  до , тобто обчислюючи зовнішній інтеграл, дістаємо деяке число  значення подвійного інтеграла.

Якщо область  обмежена двома неперервними кривими  і двома прямими , причому  для всіх , то справедлива формула

                                 (12)

У формулі (12) внутрішнім є інтеграл по змінній . Обчислюючи його в межах від  до  (при цьому  вважається сталою), дістанемо деяку функцію від однієї змінної . Інтегруючи потім цю функцію в межах від  до , одержимо значення подвійного інтеграла.

Визначена таким чином область  є правильна в напрямі осі .

Пропонуємо самостійно довести формулу (12), зробивши переріз циліндричного тіла перпендикулярною до осі  площиною.

Праві частини формул (11) і (12) також називають двократними інтегралами від функції  по області .

Для зведення подвійного інтеграла до повторного потрібно побудувати область інтегрування , а потім визначити порядок інтегрування.