36. Невласні інтеграли другого роду.Невласні інтеграли

При введенні поняття визначеного інтегралу як границі інтегральної суми припускалось, що виконуються такі умови:

   I.        межі інтегрування та є скінченими;

II.        підінтегральна функція на неперервна або має скінчене число точок розриву першого роду. В цьому випадку визначені інтеграли називаються власними. Якщо хоч одна з перечислених вище умов не виконується, то такі інтеграли називаються невласними. Невласні інтеграли є узагальненням визначених інтегралів на випадок нескінчених проміжків інтегрування та необмежених функцій.

Невласні інтеграли другого роду

Нехай функція визначена і неперервна при , а в точці вона або невизначена, або має розрив другого роду. Тому говорити про інтеграл як про границю інтегральної суми неможливо, тому що функція не є неперервною на відрізку і, внаслідок цього, границя інтегральної суми, в класичному розумінні, не може існувати.

Означення 1. Якщо існує скінчена лівостороння границя , то цю границю називають невласним інтегралом від розривної функції на відрізку і вважають, що

. (8.2.1)

У цьому випадку інтеграл називають збіжним, а саму функцію інтегрованою на відрізку . Якщо границя рівна , або зовсім не існує, то інтеграл розбіжний.

Аналогічно визначається невласний інтеграл другого роду, якщо функція неперервна при , а в точці вона або невизначена, або має розрив другого роду:

. (8.2.2)

Якщо ж функція має розрив в деякій точці , яка лежить всередині відрізка , то , згідно означення, вважають, що

, (8.2.3)

якщо два інтеграли, що лежать в правій частині існують.

37. Ознака збіжності невласних інтегралів.

Якщо функція визначена і неперервна на відрізку за виключенням скінченого числа точок , які є внутрішніми точками відрізка і в цих точках має розриви другого роду, то інтеграл від функції на відрізку визначають так:

, (8.2.4)

якщо кожен з невласних інтегралів в правій частині рівності (8.2.4) збігається, і сам інтеграл в цьому випадку називається збіжним.

Якщо хоч би один з інтегралів в правій частині рівності розбігається, то і називається розбіжним.

Для визначення збіжності невласних інтегралів від функцій, які мають розриви другого роду, використовують теореми аналогічні теоремам для визначення збіжності невласних інтегралів першого роду.

Теорема 3 Якщо функція є знакозмінною на відрізку , має розрив другого роду в точці , і невласний інтеграл другого роду збігається, то збігається також невласний інтеграл .

При виконанні умов теореми 3 невласний інтеграл другого роду називається абсолютно збіжним.

38. Поняття числового ряду та його суми.

39. Основні властивості рядів.

Означення. Ряд  називається збіжним, якщо послідовність  його частинних сум має скінченну границю:

Значення  цієї границі називається сумою ряду. Якщо ж послідовність частинних сум ряду границі не має, то ряд називається розбіжним.

ВЛАСТИВОСТІ ЧИСЛОВИХ РЯДІВ

1. Відкидання скінченної кількості перших членів ряду не впливає на його збіжність; якщо вихідний ряд збіжний, то сума отриманого ряду буде менша суми початкового ряду  на суму відкинутих членів.

2. Збіжні ряди можна почленно додавати і віднімати. Ця властивість означає, що із збіжності двох рядів  випливає збіжність ряду

Крім того, якщо суми цих рядів позначити через А,В,С відповідно, то має місце рівність С=А±В.

Слід відмітити, що із збіжності ряду    

 збіжність рядів  не випливає.

Наприклад, збіжний ряд 0+0+0+… отриманий в результаті почленного додавання розбіжних рядів 1+1+1+… і -1-1-1…     .

3. Якщо члени збіжного ряду, не змінюючи їх порядку, об'єднати в групи, то отриманий при цьому ряд також збігається  і сума його співпадає із сумою вихідного ряду.

4. Нехай  - деякий збіжний числовий ряд,  - сума цього ряду. Тоді ряд  (С – довільне число, відмінне від нуля) також збіжний і його сума рівна .

5. Нехай ряд  з невід‘ємними членами, а ряд  отримується із даного ряду довільною перестановкою його членів. Тоді дані ряди збігаються одночасно і мають одну і ту ж суму.