49. Неперервність функцій декількох змінних

Пусть функция z = f ( x ,y ) определена в точке M0(x0y0) и её окрестности.

Определение 1.6 Функция называется непрерывной в точке M0(x0y0), если

Если функция f ( x ,y ) непрерывна в точке M0(x0y0), то

Поскольку

То есть, если функция f ( x ,y ) непрерывна в точке M0(x0y0), то бесконечно малым приращениям аргументов в этой области соответствует бесконечно малое приращениеΔzфункции z.

Справедливо и обратное утверждение: если бесконечно малым приращениям аргументов соответствует бесконечно малое приращение функции, то функция непрерывна

Функцию, непрерывную в каждой точке области, называют непрерывной в области. Для непрерывных функций двух переменных, так же, как и для функции одной переменной, непрерывной на отрезке, справедливы основополагающие теоремы Вейерштрасса и Больцано - Коши.

Справка: Карл Теодор Вильгельм Вейерштрасс (1815 - 1897) - немецкий математик. Бернард Больцано (1781 - 1848) - чешский математик и философ. Огюстен Луи Коши (1789 - 1857) - французский математик, президент французской Академии наук (1844 - 1857).

Пример 1.4. Исследовать на непрерывность функцию

Решение

Данная функция определена при всех значениях переменных x и y, кроме начала координат, где знаменатель обращается в нуль.

Многочлен x2+y2 непрерывен всюду, а значит и непрерывен корень квадратный из непрерывной функции.

Дробь же будет непрерывной всюду, кроме точек, где знаменатель равен нулю. То есть рассматриваемая функция непрерывна на всей координатной плоскости Оху, исключая начало координат.

Пример 1.5. Исследовать на непрерывность функцию z=tg(x,y). Тангенс определен и непрерывен при всех конечных значениях аргумента, кроме значений, равных нечетному числу величины π/2, т.е. исключая точки, где

При каждом фиксированном "k" уравнение (1.11) определяет гиперболу. Поэтому рассматриваемая функция является непрерывной функцией x и y , исключая точки, лежащие на кривых (1.11).

50. Частинні похідні функції декількох змінних.

Если каждой паре (x, y) значений двух независимых друг от друга переменных x и y из некоторого множества D соответствует определённое значение величины z, то говорят, что z есть функция двух независимых переменных x и y, определённая на множестве D. Множество D называется областью определения функции z = z (x, y).

Обозначается: z = f (x, y) или z = z (x, y).

Пример.  .

Аналогично определяются функции трёх и более переменных.

Примеры.   – функция трёх переменных;

  – функция n переменных.

Частные производные ФНП - Ели одному из аргументов функции z = f (x, y) придать приращение, а другой аргумент не изменять, то функция получит частное приращение по одному из аргументов:  – это частное приращение функции z по аргументу x;  – это частное приращение функции z по аргументу у.

Частной производной функции нескольких переменных по одному из её аргументов называется предел отношения частного приращения функции по этому аргументу к соответствующему приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю:

– это частная производная функции z по аргументу x;

– это частная производная функции z по аргументу у.

Чтобы вычислить частную производную ФНП по одному из её аргументов, нужно все другие её аргументы считать постоянными и проводить дифференцирование по правилам дифференцирования функции одного аргумента.

Пример.   

 Вычислить интеграл от разрывной функции   или установить его расходимость.

.  (1)

Так как подынтегральная функция имеет разрыв на правом конце отрезка интегрирования, то переходим к следующей записи:

Таким образом, на отрезке   интеграл расходится, а следовательно расходится и исходный интеграл, так как равенство (1) справедливо только для сходящихся интегралов в правой части.