27. Застосування правил Лопіталя до обчислення границь функцій.

Пра́вило Лопіта́ля — у математичному аналізі — метод знаходження границь функції, розкриття невизначеностей вигляду   і  . Теорема, що обґрунтовує метод, стверджує що за деяких умов границя від частки функцій дорівнює границі частки їхніх похідних.

Тема 3. Диференціальне числення функції однієї змінної

 

3.6. Правила Лопіталя розкриття невизначеностей (L'Hospital rule)

Теорема 3.10. (І правило Лопіталя). Якщо:

1) функції   і   диференційовні на інтервалі  ,   для всіх  ;

2)  ;

3) існує скінченна або нескінченна границя  ,

то існує границя  , причому має місце рівність:

 

.                              (3.21)

Доведення. Довизначимо функції   і   в точці   так, щоб вони стали неперервними, тобто покладемо  . Тепер   ці функції на відрізку  , ( ) задовольняють умови теореми Коші. Тому існує точка с,  , ( ) така, що

.

 

Оскільки  , ( ) то  . Перейшовши в останній рівності до границі, за умови  , отримаємо

 що і потрібно було довести.

 

Запам’ятай добре! Доведену теорему зазвичай називають правилом Лопіталя розкриття невизначеності   за умови  .

Аналогічні теореми мають місце для розкриття невизначеності   у випадку односторонніх границь при  ,  .

 

Приклад 3.24. Обчислити границю  .

Розв’язання. Ми маємо невизначеність типу  . Функції   і   задовольняють умови теореми в деякому околі точки  . Застосуємо правило Лопіталя:

 

.

 

Наслідок 1. Теорема Лопіталя справедлива також при  , при   і при  .

 

Приклад 3.25. Обчислити границю  .

Розв’язання. Маємо невизначеність типу  . Застосуємо правило Лопіталя:

. 

Наслідок 2. Якщо похідні   і   задовольняють ті самі вимоги, що і функції   і  , то правило Лопіталя можна застосувати повторно. При цьому отримаємо

 

.                       (3.22)

І взагалі, правило Лопіталя при виконанні умов теореми можна застосовувати багаторазово.

 

Приклад 3.26. Обчислити границю  .

Розв’язання. Дана границя дозволяє використовувати формулу (3.21) багаторазово, дійсно:

 

.

 

Наслідок 3. Якщо в теоремі замінити умову 2) на наведену нижче

2)  , або  , то формула (3.21) також має місце.

В цьому випадку правило Лопіталя застосовується для розкриття невизначеності типу  ( ІІ правило Лопіталя).

Приклад 3.27. Якщо  , то

 

, 

тобто довільний додатний степінь x зростає швидше, ніж   при  .

Розв’язування. Дійсно, застосувавши ІІ правило Лопіталя, отримаємо

 

.

 

Приклад 3.28. Якщо  ,   то

 

,

 

тобто, при   степенева функція   зростає повільніше, ніж показникова функція  ,  .

Розв’язування. Дійсно, застосувавши правило Лопіталя розкриття невизначеності   n раз, отримаємо:

 

.

 

Зазначимо, що формули (3.21), (3.22) мають місце лише тоді, коли існує скінченна або нескінченна границя  . Але буває і так, що границя   існує, у випадку коли границя   не існує.

 

Приклад 3.29.   існує і дорівнює  .

Розв’язання. Дійсно

 

.

 

Але відношення похідних   не має границі при  .

 

Після певних перетворень правило Лопіталя може бути застосовано також до розкриття інших невизначеностей, таких як:  ,  ,  ,  ,  .

Так, границі невизначеностей типів   та   доцільно звести до виду   або  .

 

Приклад 3.30. Обчислити границю  .

Розв’язання. Маємо невизначеність типу  . Приведемо цю невизначеність до виду   і застосуємо правило Лопіталя.

 

.

 

Приклад 3.31. Обчислити границю  .

 

Розв’язання. Маємо невизначеність типу  . Спочатку зведемо дроби до спільного знаменника.

 

.

 

Внаслідок перетворень ми дістали невизначеність виду  . Застосуємо правило Лопіталя

 

.

 

При розкритті невизначеностей типу  ,  ,   за допомогою правила Лопіталя попередньо необхідно виконати деякі перетворення.

Нехай треба обчислити границю складеної степеневопоказникової функції:

,

 

де ми маємо невизначеність одного з вищезгаданих типів. Запишемо цю границю у вигляді

,

 

тут в показнику маємо вже невизначеність виду  , яку можна звести до невизначеності типу   або   шляхом знесення в знаменник одного із співмножників, що стоять під знаком границі.

Приклад 3.32. Обчислити границю  .

Розв’язання. Маємо невизначеність типу  . Виконаємо тотожне перетворення функції:

.

 

Знайдемо границю показника отриманої функції за правилом Лопіталя

 

.

 

Отже,  .

 

Приклад 3.33. Обчислити границю  .

Розв’язання. Маємо невизначеність типу  . Виконаємо тотожне перетворення функції, що стоїть під знаком границі:

.

 

Обчислимо окремо границю, яка міститься в показнику, за правилом Лопіталя

.

Отже,

.