23 Ознаки монотонності функції.

• (Критерій монотонності функції, що має похідну на інтервалі) Нехай функція неперервна на (A, b), і має в кожній точці похідну f '(x). Тоді

f зростає на (A, b) тоді і тільки тоді, коли

f убуває на (A, b) тоді і тільки тоді, коли

• (Достатня умова суворої монотонності функції, що має похідну на інтервалі) Нехай функція неперервна на (A, b), і має в кожній точці похідну f '(x). Тоді

якщо то f строго зростає на (A, b);

якщо то f строго убуває на (A, b).

Зворотне, взагалі кажучи, невірно. Похідна строго монотонною функції може звертатися в нуль. Однак, безліч точок, де похідна не дорівнює нулю, має бути щільно на інтервалі (A, b). Точніше має місце

• (Критерій суворої монотонності функції, що має похідну на інтервалі) Нехай і всюди на інтервалі визначена похідна f '(x). Тоді f строго зростає на інтервалі (A, b) тоді і тільки тоді, коли виконані наступні дві умови:

2. 

Аналогічно, f строго убуває на інтервалі (A, b) тоді і тільки тоді, коли виконані наступні дві умови:

1. 

2. 

24. Екстремум функції.

Точка х₀ називається точкою локального максимуму функції , якщо для будь-яких досить малих   виконується нерівність

.

Точка х₀ називається точкою локального мінімуму функції , якщо для будь-яких досить малих   виконується нерівність

.

Точки максимуму і мінімуму називаються точками екстремуму функції , а значення функції в екстремальних точках – її екстремальними значеннями.

Необхідну ознаку локального екстремуму дає така теорема:

Теорема 1. Якщо функція  має в точці х₀ локальний екстремум, то або , або не існує.

Проте виявляється, що цього недостатньо, бо може , а функція в цій точці екстремуму не має.

Точки, в яких функція  визначена та неперервна, і в цих точках  або не існує, називаються критичними для функції.

Проте не в кожній критичній точці функція  має екстремум. Тому потрібні достатні ознаки існування екстремуму для функції f. Їх дають такі теореми:

Теорема 2.

Нехай функція неперервна в деякому інтервалі, який містить критичну точку х₀, і диференційована у всіх точках цього інтервалу (за винятком, можливо, самої точки х₀).

Якщо для х<х₀ , а для   х₀<x   , то для х=х₀ функція  має максимум.

Якщо для х<х₀      , а для   х₀<x   , то для х=х₀ функція  має мінімум.

Теорема 3.

Нехай функція  два рази диференційована в околі точки х₀ і . Тоді в точці х=х₀ функція має локальний максимум, якщо , і локальний мінімум,  якщо .

Якщо ж , то точка х=х₀ може й не бути точкою екстремуму.

Звідси випливає такий план знаходження екстремальних точок:

1.     знаходять критичні точки функції  , тобто точки , в яких , або  не існує;2.     знаходять другу похідну і обчислюють значення другої похідної в цих точках.

Якщо значення другої похідної в критичній точці від’ємне, то така точка є точкою максимуму, а якщо значення другої похідної додатне, то точка є точкою мінімуму.

Якщо в критичній точці, то нічого конкретного сказати не можна, бо в цій точці може бути екстремум, а може й не бути.

Розглянемо тепер дослідження функції на екстремум на конкретних прикладах.

Приклад 1.

Дослідити на екстремум функцію

Розв’язання.

Функція визначена і диференційована на R. Знайдемо її похідну:

.

Знайдемо нулі похідної:

х²+х-2=0,   х₁=-2   х₂=1.

Отже, функція f має дві критичні точки х₁=-2,х₂=1.

Оскільки похідна є квадратним тричленом з додатним коефіцієнтом при х², то на інтервалах     , а на інтервалі (-2;1) .

Похідна неперервна на R і при переході через критичну точку змінює знак на протилежний.

Оскільки при переході через критичну точку х=-2 похідна змінює знак з плюса на мінус, то в цій точці функція має локальний максимум.

.

При переході через точку х=1 похідна змінює знак з мінуса на плюс. Тому в цій точці функція f має локальний мінімум.