19. Пересечение многогранника плоскостью.
При пересечении многогранника плоскостью в общем случае полу-
чается плоский многоугольник АВСD . Этот многоугольник можно построить или по точкам пересечения с плоскостью ребер многогранника, или по линиям пересечения граней многогранника с плоскостью.
Следовательно, задача сводится к определению точек пересечения прямой
с плоскостью или к определению линий пересечения плоскостей. Первый
способ на практике применяется чаще второго.
Плоскую фигуру, полученную от пересечения многогранника плоскостью, называют сечением.
Рассмотрим несколько примеров.
На рис. 8.5 построены проекции фигуры сечения наклонной трехгранной призмы фронтально проецирующей плоскостью Φ (Φ2).
Фронтальными проекциями точек встречи ребер призмы с секущей
плоскостью (фронтальными проекциями вершин фигуры сечения) являются точки 122232. Их горизонтальные проекции 112131 определены при помощи линий связи. Фронтальной проекцией фигуры сечения в данном
примере является отрезок 122232, совпадающий с фронтальным следом
плоскости Ф, а горизонтальной – треугольник 112131.
На рис. 8.6 построены проекции фигуры сечения четырехгранной
пирамиды фронтально проецирующей плоскостью. Здесь, как и в преды-
дущем примере, фронтальная проекция сечения 12223242 изображается от-
резком прямой, совпадающим с фронтальным следом плоскости Г. Гори-
зонтальная проекция сечения 11213141 находится по линиям связи.
Если многогранник пересекает плоскость общего положения, то для
определения линии пересечения необходимо воспользоваться некоторыми
дополнительными вспомогательными построениями. Эти построения
можно выполнять двумя способами:
а) метод ребер – нахождение точек пересечения ребер многогранника
с плоскостью, т.е. нахождение вершин многогранника, получающегося в
сечении;
б) метод граней – нахождение линий пересечения граней многогранника с секущей плоскостью, т.е. нахождение сторон сечения.
Так,
на рис. 8.7. линия пересечения призмы ABC
с плоскостью обще-
го положения Ф построена с использованием метода ребер.
Горизонтальный след Ф1 проходит по нижнему основанию, следовательно, он пересекает нижнее основание по прямой 1121.
Ребро А находится перед плоскостью и не пересекается с ней. Через
ребра призмы B и C проводим фронтальные плоскости Г и Θ и строим линии пересечения вспомогательных плоскостей с плоскостью Φ. Фронтальные проекции ребер будут пересекаться с проекциями линий пересечения
плоскостей в точках встречи их с плоскостью Ф.
Использование
метода граней показано на рис. 8.8,
когда необходимо
построить сечение призмы ABC плоскостью общего положения Ф (а∩b). Заключаем грани AB и BC в горизонтально-проецирующие плоскости Г, Θ и строим линии пересечения данных плоскостей с плоскостью Ф. В пределах
граней AB и BC эти линии являются сторонами многоугольника, получаемыми при пересечении плоскостью Ф призмы ABC.
На рис. 8.9. построены проекции сечений плоскостью Ф наклонной
призмы. Для нахождения проекций сечения заключаем поочередно ребра призмы во фронтально-проецирующие плоскости Г, Θ, Σ и находим точки встречи ребер с плоскостью Ф. Полученные точки 1, 2, 3 соединяем ломаной линией и определяем видимость.
