14. Методы преобразования чертежа.

Проецируемая фигура может занимать по отношению к плоскости проекции удобное (рациональное) и неудобное (нерациональное) положение.

Количество и характер геометрических построений при графическом решении задач определяется не только сложностью самой задачи, но и зависят от рационального или нерационального расположения фигуры относительно плоскости проекций.

Наиболее рациональные частные положения фигуры:

- положение, перпендикулярное к плоскости проекций;

- положение параллельное плоскости проекций.

При общем положении фигуры, она проецируется на плоскость проекций в искаженном виде.

Методы преобразования комплексного чертежа применяются для приведения фигуры общего положения в частное положение, наиболее выгодное для решения задач.

Четыре основные задачи, решаемые методами преобразования

1. Прямую общего положения преобразовать в прямую уровня.

2. Прямую общего положения преобразовать в проецирующую прямую.

3. Плоскость общего положения преобразовать в проецирующую плоскость.

4. Плоскость общего положения преобразовать в плоскость уровня.

Достигается это:

а) введением дополнительных плоскостей проекций так, чтобы прямая линия или плоская фигура, не меняя своего положения в пространстве, оказалась в частном положении в новой системе плоскостей проекций (способ перемены плоскостей проекций);

б) изменением положения прямой линии или какой-либо фигуры путем поворота вокруг некоторой оси так, чтобы прямая или фигура оказалась в частном положении относительно неизменной системы плоскостей проекций (способ вращения и плоскопараллельного перемещения).

Существует по крайней мери около 3 способов замены плоскостей: Замена плоскостей проекций; Вращение вокруг оси, перпендикулярной плоскости проекций; Плоскопараллельное движение.

15.Способы замены плоскостей проекций.

При решении задач на определение истинной величины отрезка прямой линии, плоской фигуры или наклона их к плоскостям проекций, а также на определение расстояний между точкой и прямой или плоской фигурой было замечено, что если эти прямые или плоские фигуры «удобно» расположены относительно плоскостей проекций, т.е. занимают частное положение, то задачи имеют простые решения. Сравним решение двух задач. Пусть требуется определить истинную величину отрезков АВ и СD (рис. 6.1). В первом случае отрезок АВ занимает общее положение (см. рис. 6.1, а), во втором отрезок CD занимает частное положение (см. рис. 6.1, б).

Истинная величина отрезка АВ (А1В0) определена при помощи прямоугольного треугольника. Что же касается отрезка CD, то истинная вели-

чина его равняется С2D2, т.к. отрезок расположен параллельно плоскости

проекций П2, т.е. решение задачи вытекает из самого чертежа.

Если заданные геометрические элементы расположены наклонно ко всем плоскостям проекций, то, применяя метод замены плоскостей проекций, т.е. дополняя основную систему плоскостей проекций П1/П2 одной

или несколькими новыми плоскостями проекций, переходим к такому положению, когда геометрические элементы в новой системе плоскостей

проекций, например, П1/П4, занимают частное положение.

Метод замены плоскостей проекций заключается в том, что одна из

основных плоскостей проекций, П1 или П2, заменяется новой плоскостью

проекций П4, перпендикулярной к незаменяемой плоскости проекций. На-

пример, если заменяется плоскость проекций П2, то новая плоскость проекций П4 должна быть расположена перпендикулярно П1 и параллельно, например, проецируемому отрезку. При данном методе положение в пространстве отрезков прямых или плоских фигур не изменяется. Рассмотрим построение проекции точки А в новой системе плоскостей проекций П1/П4. Для этого основную систему плоскостей проекций П1/П2, дополняем новый плоскостью проекций П4, расположенной перпендикулярно П1 в произвольном месте (рис. 6.2, а).Линия пересечения этих плоскостей образует новую ось проекций Х14.

Положение точки А4 в новой системе плоскостей проекций П1/П4

определяем так же, как и в системе П1/П2, т.е. из точки А проводим перпендикуляр до пересечения с плоскостью проекций П4. Затем плоскость П4 совмещаем с плоскостью проекций П1, как совмещали плоскость проекций П1 с П2 при нахождении проекций точек, расположенных в первой четверти. Проекции А1 и А4 точки будут лежать на одном перпендикуляре к оси Х14. Чтобы построить чертеж точки А4 в новой системе плоскостей проекций (см. рис. 6.2, б), проводим из точки А1 перпендикуляр к новой оси проекций, а затем на продолжении этого перпендикуляра от оси Х14 откладываем расстояние, равное А2Ах12, взятое с фронтальной плоскости проекций П2. При необходимости замены плоскости проекций П1 новую плоскость проекций П4 располагаем перпендикулярно П2. Остальное решение аналогично предыдущему. Определим натуральную величину отрезка АВ и угол наклона его к горизонтальной плоскости проекций методом замены плоскостей проекций (рис. 6.3).

Учитывая, что одновременно нужно определить величину отрезка

АВ и угол наклона его к П1, необходимо, чтобы новая дополнительная

плоскость проекций П4 была расположена параллельно отрезку АВ и перпендикулярно плоскости проекций П1. Таким образом, на горизонтальной плоскости проекций П1 проводим новую ось проекций Х14 параллельно А1В1 на произвольном расстоянии от А1В1. Отрезок АВ спроецируется на новую плоскость проекций П4 в натуральную величину. Построение проекции А4В4 показано на чертеже. Из точек А1 и В1 проведены перпендикуляры к оси проекции Х14 и от этой оси на продолжении перпендикуляров отложены величины расстояний, взятые с фронтальной плоскости проекций (показано засечками). Угол α, заключенный между найденной проекцией А4В4 и осью проекций Х14, равняется углу наклона отрезка к горизонтальной плоскости

проекций. Для того чтобы определить угол наклона отрезка АВ к фронтальной плоскости проекций, необходимо новую плоскость проекций расположить параллельно отрезку и перпендикулярно фронтальной плоскости проекций, т.е. новая ось на эпюре должна пройти параллелью А2В2. Дальнейшее решение аналогично предыдущему. На рис. 6.4 приведен пример преобразования отрезка СD в проецирующее положение в новой системе плоскостей проекций П2/П4. Так как отрезок CD занимает частное положение, т.е. расположен параллельно плоскости проекций П2, то при расположении дополнительной плоскости проекций П4 (ось Х24) перпендикулярно плоскости проекций П2 и отрезку CD последний спроецируется в точку, т.е. С4 совпадет с D4 (С4≡D4). Это видно из чертежа, т.к. горизонтальные проекции точек С1 и D1 отстоят на одинаковом расстоянии от оси Х.

Чтобы преобразовать плоскость общего положения Ф, заданную

следами (рис. 6.5), в проецирующее положение, необходимо дополни-

тельную плоскость П4 расположить перпендикулярно данной плоскости и перпендикулярно одной из плоскостей проекций П1 или П2. Для сравнения на рис. 6.6 показаны горизонтально-проецирующая плоскость (см. рис. 6.6, а) и фронтально-проецирующая Р (см. рис. 6.6, б), у которых один из следов перпендикулярен оси Х, а это значит, что он перпендикулярен и одной из плоскостей проекций. Для решения задачи необходимо плоскость П4 расположить перпендикулярно горизонтальному следу Ф1, который является линией пересечения плоскости Ф и плоскости проекций П1.Это значит, что ось Х14 должна быть проведена перпендикулярно следу Ф1. Следовательно, плоскость П4 одновременно займет положение, перпендикулярное П1, что является необходимым условием при замене плоскостей проекций. Чтобы построить след Ф4 в новой системе плоскостей проекций П1/П4, возьмем на следе Ф2 фронтальную проекцию точки 12 и найдем точку 14, принадлежащую фронтальному следу в новой системе плоскостей проекций. Проведя прямую линию через точку 14 и точку пересечения следа Ф1 с осью проекций Х14, получим фронтальный след Ф4 в новой системе плоскостей проекций. Плоскость же, заданная следами Ф1 и Ф4, является фронтально-проецирующей в новой системе плоскостей проекций.

Задача решается аналогично при замене горизонтальной плоскости

проекций.

Рассмотрим задачу, для решения которой замена одной плоскости

проекций дополнительной плоскостью проекций является недостаточной.

Пусть требуется преобразовать систему плоскостей проекций так, чтобы

отрезок АВ, занимающий в основной системе плоскостей проекций П1/П2

общее положение, в новой системе был бы перпендикулярен одной из

плоскостей проекций, т.е. спроецировался бы в точку.

Новую плоскость проекций выбрать так, чтобы она была перпендикулярна отрезку АВ и одной из плоскостей проекций, невозможно, т.к. отрезок занимает общее положение. Поэтому необходимо вначале применить

промежуточную плоскость проекций П4, которую нужно расположить параллельно отрезку АВ и перпендикулярно П1 (рис. 6.7). Для этого проводим новую ось проекций параллельно отрезку АВ, т.е. Х14 ⎟⎟ А1В1, и строим новую фронтальную проекцию отрезка А4В4. Вторую дополнительную плоскость проекций П5 в системе П4/П5 располагаем перпендикулярно промежуточной плоскости проекций П4 и отрезку

АВ, т.е. ось проекций Х45 проводим перпендикулярно проекции отрезка

А4В4. Точки А5 и В5 совпадают, т.к. отрезок А1В1 расположен на одинаковом расстоянии от оси Х14.

На рис. 6.8 приведен пример определения истинной величины треугольника АВС путем применения двух дополнительных плоскостей проекций.

Заменяем систему плоскостей проекций П1/П2 новой системой плоскостей

проекций П1/П4, располагая плоскость проекций П4 перпендикулярно треугольнику АВС и плоскости проекций П1. Это значит, что новая ось проекций должна быть расположена перпендикулярно горизонтальной проекции горизонтали h1. Плоскость треугольника в данном случае спроецируется на П4 в прямую линию (С4А4В4). Чтобы получить истинную величину треугольника АВС, нужно плоскость П5 расположить параллельно плоскости треугольника АВС и перпендикулярно П4. Это значит, что ось проекций Х45 должна быть расположена параллельно проекции треугольника С4А4В4. Полученная проекция А5В5С5 соответствует истинной величине треугольника АВС.

16. Способ замены вокруг проецирующей прямой. Этот способ является частным случаем способа плоскопараллельного перемещения, когда точка фигуры описывает дугу окружности, плоскость которой также параллельна плоскости проекций.

Графический алгоритм построения точек в способе вращения вокруг проецирующей прямой отличается лишь тем, что здесь траектория движения точки имеет вид окружности, а не произвольной прямой, как в плоскопараллельном проецировании.Способ вращения вокруг проецирующей прямой более удобен при решении некоторых задач. Найдем с применением этого метода длину отрезка AB. Отрезок AB спроецируется на П2 в натуральную величину, если он будет ей параллелен. Для этого повернем его вокруг оси, проходящей через точку B до состояния параллельности П2, при этом точка A опишет дугу в горизонтальной плоскости.

А2 i2 A2’

В2=В2’

П2

П 1

A1’

В1=B1’

А1 i1

Алгоритм графических построений:

Проведем ось вращения i через точку B. Ось i перпендикулярна П2;

Повернем отрезок AB до состояния параллельности оси проекций П1П2. Где A1'B1' - новая проекция AB;

Проводим вспомогательную линию на П2. Эта линия символизирует горизонтальную плоскость, в которой поворачивалась точка A;

Проводим линию связи и находим новую проекцию A2'B2' отрезка AB на П2;

A2'B2' - натуральная величина отрезка AB.