2. Непараметрическая оценка регрессии

Регрессией называют первый начальный условный момент . Это некоторая усреднённая количественная зависимость между выходом и входом объекта. Регрессия удовлетворяет квадратичному критерию . Действительно, приравнивая нулю производную от функции I по искомой величине y*,

и отсюда находим: подставляем в правую часть уравнения оценку условной плотности распределения вероятностей и получаем непараметрическую оценку регрессии

Оценка представляет собой выпуклую комбинацию измерений yi выхода объекта. Веса в этой выпуклой комбинации определяются входом объекта. Чем ближе значение х, для которого мы рассчитываем оценку к измерению xi, тем вес больше. Усечённость весовой функции позволяет при построении оценки в каждой фиксированной точке х учитывать только несколько близлежащих значений хi и не просматривать всю выборку. Выбор оптимальной формы ядра К(.) и коэффициента размытости h(.) разрешается также как и для оценок плотностей. Записывается квадратичный критерий оптимальности и из него отыскивается решение

Функция качества I от формы усечённых «колоколообразных» ядер зависит слабо. Основное влияние оказывает с. Но эта зависимость с ростом n ослабевает. Форма ядра усечённая параболическая. Константа с, определяющая коэффициент размытости, вычисляется по выборке из минимизации эмпирических функций. Если в вместо У стоит известная функция от У, например, , то по аналогии с вышерассмотренным получаем следующую непараметрическую оценку условного момента: . Для объекта с m – входами и одним выходом оценка регрессии имеет следующий вид:

В оценке неизвестными являются постоянные параметры , .

Билет 17

1. Адаптивное управление при априорной неопределенности (непараметрическая обработка информации).

Адаптивные системы применяются для управления объектами различной природы (и в первую очередь технологическими процессами) в условиях неопределённости.

При создании адаптивных систем управления идут двумя путями. В первом классе систем в процессе адаптации подстраивается модель объекта, а затем по модели также непрерывно по времени вычисляются управляющие воздействия. Во втором классе систем на основе критериев оптимальности синтезируется структура устройств управления, а затем в процессе адаптации подстраиваются параметры этих устройств. Жесткого различия между этими классами адаптивных систем нет. Есть области, где принципиального различия в их свойствах нет и дело, как говорится, вкуса, какой системе отдать предпочтение.

Рассмотрим объект, который находится в ряде статистических состояний. Необходимо найти такое его состояние, которое соответствует наилучшему режиму его работы. Структура системы управления представлена на рисунке. объект имеет два входа: один управляемый u, второй – наблюдаемый. Необходимо найти алгоритм работы управляющего устройства, чтобы обеспечивалось движение системы по заданной траектории т.е. чтобы выход системы в каждый текущий дискретный момент времени как можно меньше отличался бы от . К моменту времени управляющее устройство располагает: измерениями выхода объекта у, контролируемого входа объекта μ, управляющими воздействиями u и желаемым выходом системы :

В момент времени с измерительного устройства поступила свежая информация , известно также значение желаемой траектории системы и необходимо вычислить и подать на объект управляющее воздействие . Заметим, что только после окончания переходных процессов в объекте, вызванных воздействиями , происходит измерение выхода объекта . После этого осуществляется переход к следующему такту управления.

Поиск управляющего воздействия можно вести двумя путями. Первый (традиционный подход) основан на построении прямой модели объекта и последующем вычислении из условия наилучшего приближения выхода модели к желаемому выходу замкнутой системы. Кратко опишем этот подход, основываясь на непараметрической оценке регрессии. Все переменные объекта являются случайными величинами. Уравнением объекта (наилучшим по минимуму среднеквадратичного отклонения) является регрессия .

Оценив её по выборке (таблица), получаем прямую модель объекта:

.

Используем её для прогноза выхода объекта в момент времени е. Для этого подставляем вместо его новое измеренное значение :

и приравниваем прогнозируемый выход к желаемому выходу :

.

Из этого нелинейного уравнения вычисляем u и получаем искомое управляющее воздействие объекта в момент времени .

Если на управление u накладывается ограничение , то для поиска надо использовать критерий наилучшего приближения к , например:

.

Результатом минимизации локальной (только для момента времени ) функции качества является искомое управление .

Расчёт управления является непростой обратной задачей, тем более что она решается на каждом такте . Эта задача усложняется, если управлений несколько. чтобы избавиться от решения этой обратной задачи, воспользуемся обратным уравнением объекта. Выборка (таблица) позволяет оценить не только прямую, но и обратную регрессию:

, т.е. .

Подставляя в правую часть вместо его новое измерение , а вместо у его желаемое значение , получаем искомое управляющее воздействие:

,

.

Особенностью непараметрических моделей является то, что область их действия не выходит за область экспериментов. Всегда в силу выпуклой комбинации точек в .

Если область наблюдений мала, а для достижения желаемого значения требуется управление вывести из этой области, то надо к управляющему воздействию добавлять изучающую компоненту:

.

На начальном этапе управления, когда фактически идёт процесс обучения, роль изучающей добавки велика. Обычно формируют в виде некоторой функции от невязки . Со временем эта невязка уменьшается и влияние изучающей добавки также падает. Аналогом изучающей добавки является задание первых значений управления на границе области её возможных значений. Остальные рассчитываются по формуле искомого управляющего воздействия и находятся внутри области возможных изменений управления.

Изучающая добавка к управлению должна удовлетворять условиям

Выполнение их обеспечивает асимптотическую сходимость:

.

Если внешнее возмущение объекта отсутствует либо оно остаётся постоянным в процессе управления, то непараметрическое управление статистическим режимом работы объекта зависит только от измеряемых значений выхода объекта yi, желаемого выхода и предшествующих значений управления:

, .

При нескольких управляющих воздействиях расчёт каждого управления проводится по формулам:

, k=1,…,m;

, k=1,…,m