Векторные поля в трёхмерном пространстве

Если   — радиус-вектор, который в заданной системе координат имеет вид  , то векторное поле описывается вектор-функцией вида:

В трёхмерном пространстве имеют смысл следующие характеристики векторного поля

Криволинейный интеграл

где точка означает скалярное произведение,   — векторный элемент криволинейного пути, вдоль которого происходит интегрирование,   — проекция   на (положительную) касательную к криволинейному пути,   — скалярный элемент пути (элемент длины), C — конкретная кривая — путь интегрирования (обычно полагаемая достаточно гладкой). Пожалуй, простейшим физическим прообразом такого интеграла является работа силы  , действующей на точку при перемещении точки по заданному пути.

Циркуляция

— интеграл по замкнутому контуру:

где подынтегральное выражение совпадает с описанным чуть выше, а отличие состоит в пути интегрирования C, который в данном случае по определению замкнут, что обозначается кружком на знаке интеграла.

Поток векторного поля

 через поверхность S определяется как интеграл по S:

,

где   — проекция вектора поля на нормаль к поверхности,   — «векторный элемент поверхности», определяемый, как вектор единичной нормали, умноженный на  . Простейшим примером этой конструкции является объём жидкости, проходящий через поверхность S, при её течении со скоростью F.

Производная

Аналогом производной для векторного поля выступает тензор частных производных (якобиан), который в декартовых координатах имеет вид:

Дивергенция

— след такого тензора производных. Она не зависит от системы координат (является инвариантом преобразований координат, скаляром), а в прямоугольных декартовых координатах вычисляется по формуле:

Это же выражение можно записать с использованием символического оператора набла

Теорема Остроградского-Гаусса позволяет вычислить поток векторного поля с помощью объёмного интеграла от дивергенции поля.

Ротор

— векторная характеристика вихревой составляющей векторного поля. Это вектор с координатами:

,

где i, j и k — единичные орты для осей x, y и z соответственно.

Для удобства запоминания можно условно представлять ротор как векторное произведение:

Градиент

— важнейшая и простейшая операция, позволяющая получить векторное поле из скалярного поля. Полученное применением такой операции к скалярному полю f векторное поле называется градиентом f:

или, записывая с помощью наблы:

Векторное поле, дивергенция которого всюду равна нулю, называется соленоидальным; оно может быть представлено какротор некоторого другого векторного поля.

Векторное поле, ротор которого равен нулю в любой точке, называется потенциальным (безвихревым); оно может быть представлено как градиент некоторого скалярного поля (потенциала).

Имеет место теорема Гельмгольца: если всюду в области D у векторного поля определены дивергенция и ротор, то это поле может быть представлено в виде суммы потенциального и соленоидального поля.

Векторное поле, у которого и дивергенция, и ротор всюду равны нулю, называется гармоническим; его потенциал представляет собой гармоническую функцию.

Интегральные кривые (силовые линии)

Силовые линии магнитного поля

Интегральной кривой (также - векторной линией, для силовых полей - силовой линией, для поля скорости движения жидкости или газа - линией тока; первые термины являются общими, остальные - их синонимами в зависимости от контекста) для поля   называется кривая  , касательная к которой во всех точках кривой совпадает со значением поля:

Для силовых полей силовые линии наглядно показывают направление воздействия полевых сил.

Если в достаточно малой области пространства поле нигде не обращается в нуль, то через каждую точку этой области проходит одна и только одна силовая линия. Точки, где вектор поля нулевой — особые, в них направление поля не определено, и поведение силовых линий в окрестности этих точек может быть различным: возможно, через особую точку проходит бесконечно много силовых линий, но возможно, что не проходит ни одна. Векторное поле называется полным, если его интегральные кривые определены на всём многообразии.

Векторные поля в n-мерном пространстве

Все перечисленные для векторных полей в трёхмерном пространстве конструкции и свойства непосредственно обобщаются на любую конечную размерность пространства n.

При этом большинство таких обобщений вполне тривиальны, за исключением определения ротора, для корректного построения которого в произвольном n-мерном случае, в отличие от трёхмерного, приходится воспользоваться внешним, а не векторным (которое определено лишь для трёхмерного случая) произведением. При n=2 соответствующая операция принимает вид псевдоскалярного произведения.

Кроме того, в случае произвольного n нужна определенная аккуратность c определением потока. Основные определения оказываются полностью аналогичными для потока через гиперповерхность размерности (n — 1).