7. Ро́тор, или вихрь — векторный дифференциальный оператор над векторным полем.

Обозначается

 (в русскоязычной^[1] литературе) или

 (в англоязычной литературе),

а также - как векторное умножение дифференциального оператора набла на векторное поле:

Результат действия этого оператора на конкретное векторное поле F называется ротором поля F или, короче, просто ротором F и представляет собой новое векторное^[2] поле:

Поле rot F (длина и направление вектора rot F в каждой точке пространства) характеризует в некотором смысле^[3] вращательную составляющую поля F соответственно в каждой точке.

Пусть ось вращения направлена по оси . Из механики известно, что скорость , где вектор угловой скорости . Отсюда, и тогда

С помощью этого примера можно выяснить физический смысл ротора векторного поля. Ротор поля скоростей, , как видно, совпадает по направлению с вектором угловой скорости. Таким образом, ротор поля во многих случаях условно можно считать "осью", вокруг которой, по правилу правого винта, "закручены" векторные линии этого поля, (рис. 29). Отсюда происходит и термин rotor - вихрь.

8. Нахождение углов между векторами с помощью операций век. И скал.

Определение скалярного произведения

Скалярным произведением двух ненулевых векторов а и b называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. .Обозначается ab,а* b(или( а, b)).Итак, по определению,

  

Формуле   (6.1)   можно   придать   иной   вид.   Так   как | a| cos=пр _ba, (см. рис.14), a |b| cos = пр _ab, то получаем:

      

 т. е. скалярное произведение двух векторов равно модулю одного из них, умноженному на проекцию другого на ось, сонаправленную с первым вектором.

Определение векторного произведения

Три некомпланарных вектора a, b и с, взятые в указанном порядке, образуют правую тройку, если с конца третьего вектора с кратчайший поворот от первого вектора а ко второму вектору b виден совершающимся против часовой стрелки, и левую, если по часовой (см. рис. 16).

      

 Векторным произведением вектора а на вектор b называется вектор с, который:

1. Перпендикулярен векторам a и b, т. е. са и сb;

2. Имеет длину, численно равную площади параллелограмма, построенного на векторах а и b как на сторонах (см. рис. 17), т. е. 

3.Векторы a, b и с образуют правую тройку.

Векторное произведение обозначается а х b или [а,b]. Из определения векторного произведения непосредственно вытекают следующие соотношения между ортами i , j и k (см. рис. 18):

i х j = k,    j х k = i,    k х i = j.  Докажем, например, что iхj=k.

1) ki, kj;

2) |k|=1, но | i x j| = |i| • |J| • sin(90°)=1;

3) векторы i , j и k образуют правую тройку (см. рис. 16)

9. Понятие о жифференциальных формах

Дифференциальные формы это то понятие которое обобщает понятие произвольных измерений.

Является обобщением традиционных операторов векторных форм (градиент, дивергенция, ротор).

При рассмотрении физических полей чаще рассматриваются контурные и поверхностные интегралы.

Дифференциальные формы.

Пусть R^N – евклидово пространство N измерений и dxⁱ, где i=1…N – дифференциалы координат.

^ - упорядоченная композиция дифференциалов, обладающим антисимметрией.

dxⁱ^dx^j=-dxⁱ^dx^j – это внешнее произведение дифференциалов.

10. Внешней дифференциальной формой степени k или просто k-формой называется: ,где a…-k-мерная матрица, коэффициент которой есть функция координаты, dx…-k-форма.

Внешнее произведение k-формы:

Внешний дифференциал d формы:

рассчитывается по формуле:

Пример в трехмерном пространстве:

x₁,x₂,x₃ эквивалентно x,y,z, а эквивалентна f(x).

1 форма:

2 форма:

Легко заметить что коэффициенты внешней дифференциальной векторной формы образуют формулу из ротора.

Для 2-формы:

Имеем:

Также обратим внимание

Правило имеет общий характер.

11. Точные и замкнутые дифференциальные формы.

Форма  называется замкнутой, если d=0.

Форма называется точной, если она является внешним дифференциалом некоторой другой формы ’: =d’.

12. лемма Пуанкаре о точных и замкнутых формах.

Операция d²=0 означает, что всякая точная форма замкнута – это утверждение «лемма Пуанкаре». В общем случае произвольных топологических пространств не всякая замкнутая форма точна. Однако в евклидовых пространствах, имеющих простую топологическую природу - всякая замкнутая форма точна. Точные формы называются формами когомологичными нулю. Две формы называются когомологичными друг другу, если их разность равна 0.

13. Цепи и циклы. Дуализм цепей и форм.

С точки зрения интегрирования, внешние дифференциальные формы это то, что стоит под знаком интеграла. Двойственным к этому объекту является та поверхность, область или линия, по которой предстоит проинтегрировать дифференциальную форму. Этот объект называется цепью. Цепь и дифференциальная форма сопряжены друг к другу. Линия – 1 цепь, поверхность – 2 цепь. Граница для объема – замкнутая поверхность, для поверхности – замкнутая линия, для линии – две точки.

Цепи, не имеющие границы, называются циклами или замкнутыми цепями (поверхность сферы, замкнутая линия). Если n-мерный цикл Zn ограничивает (n+1) мерную поверхность , то он называется гомологичным нулю в соответствующей области пространства. Понятие гомологичного нулю цикла двойственно понятию точно или когомологичной нулю формы. А понятие цикл двойственно понятию замкнутой формы. Поскольку граница границ равна нулю, то ∂²=0. Это дойствнное утверждение для лемм Пуанкаре.