14. Обобщенная теорема Стокса. Теорема де Рама.

Обобщенная формула Стокса устанавливает связь между n формой и (n+1) – циклом:

Интегрирование векторного поля по замкнутому контуру дает тождественный ноль. Векторное поле, представимое как гралиент скалярной функции, называется потенциальным, а сама скалярная функция – потенциалом. Из обобщенной формулы Стокса следует ее обычная форма – поток ротора векторного поля через поверхность равен циркуляции векторного поля по контуру, ограничивающему эту поверхность.

Гомологичные нулю циклы и точные формы связаны между собой через интегрирование. Эта связь устанавливается теоремой де Рама.

Т:1.Для того, чтобы замкнутая форма в области U была точной, необходимо и достаточно, чтобы ее интеграл по любому циклу, лежащему в области U, был равен нулю. 2.Если интеграл от любой замкнутой формы в области U по циклу Я равен нулю, то найдется такое целое число m, что цикл mZ гомологичен нулю.

Теорема де Рама утверждает, что интеграл от которого по произвольному замкнутому контуру C равен нулю, есть поле потенциальное.

15. Дифференциальные формы и операторы теории поля.

Векторное поле F называется потенциальным в области V, если всюду в этой области оно представимо как градиент некоторой скалярной функции, называемой скалярным потенциалом: F=-grad U. Знак минус связан с потенциалом. Потенциал определяется как работа, выполняемая на преодоление поля силы F при перенесении единичного положительного источника из бесконечности в данную точку.

Циркуляция потенциального поля по любому замкнутому контуру равна нулю. rot F=0. rot F – это поверхностная плотность циркуляции в направлении нормали n, которая называется вихрем векторного поля. Вихрь потенциально поля равен 0.

Векторное поле F называется вихревым в области V, если всюду в области оно представимо как вихрь некоторого векторного поля А: F=rot A. Векторное поле А называется векторным потенциалом для поля F. Плотностью вихревых источников s поля F называется величина: s=rot F. Для вихревого поля div F=0 и его поток через замкнутую поверхность равен нулю. дивергенция векторного поля имеет смысл плотности его потока, т.е. потока через поверхность единичного объема.

Вихревое полена иначе называется соленоидадьным. Векторные линии будут замкнуты:

16. Разложение произвольного векторного поля в виде потенциального и вихревого.

Потенциальное (или безвихревое) векторное поле в математике — векторное поле, которое можно представить как градиент некоторой скалярной функции координат (потенциала). Необходимым условием потенциальности векторного поля в трёхмерном пространстве является равенство нулю ротора поля. Однако это условие не является достаточным (например, в многосвязной области у безвихревого поля может не существовать скалярный потенциал).

В физике, имеющей дело с силовыми полями, математическое условие потенциальности силового поля можно представить как требование равенства нулю работы при перемещении частицы, на которую действует поле, по замкнутому контуру. В качестве потенциала поля в этом случае можно выбрать работу по перемещению пробной частицы из некоторой произвольно выбранной исходной точки в заданную точку (по определению эта работа не зависит от пути перемещения). Например, потенциальными являются статическое электрическое поле, а также гравитационное поле в ньютоновой теории гравитации.

Вихревое поле - возникающее при изменении магнитного поля электрическое поле имеет совсем другую структуру, чем электростатическое. Оно не связано непосредственно с электрическими зарядами, и его силовые линии не могутна них начинаться и кончаться. Они вообще ни где не начинаются и нигде не кончаются, представляя собой замкнутые линии, подобные силовым линиям магнитного поля. Это так называемое вихревое поле.

При изменении поля сильного электромагнита появляются мощные вихри электрического поля, которые можно использовать для ускорения электронов до скоростей, близких к скорости света. На этом принципе основано устройство ускорителя электронов — бетатрона. Электрический ток в бетатроне не возникает непосредственно в вакуумной камере без каких-либо металлических проводников.

17. Кулоново поле.

, где Q-мощность, R-радиус-вектор, ε-постоянная, определяющая физическую природу и единицы измерения источника и поля. Потенциал для напряженности поля имеет вид: U=-Qε/R.

, т.о. кулоново поле является потенциальным.

Для кулонова поля величина дивергенции поля, которая называется расходимостью, равна плотности источников кулонова поля.

Плотность источников определяется как предел отношения мощности источникаQ к размерам элемента пространства при их стремлении к нулю.

18. Уравнение Пуассона и Лапласа.

div grad U = -4πq(v) – уравнение Пуассона.

div grad U = 0 – уравнение Лапласа.

По существу это одно и тоже уравнение.

div grad U заменяют ∆-называется оператором Лапласа.

В декартовой системе координат оператор Лапласа:

–Лапласиан.

Произвольное векторное поле F можно представить как смесь потенциального F_p и вихревого F_r полей: F= F_r+ F_p=rot A – grad U.

Плотность кулоновских источников поля F:

4πq(x,y,z)=div F=div(F_r+ F_p)=div rot A-div grad U отсюда следует, что div F=div F_p

Тождества операторов теории поля:

rot rot A = grad div A - ∆A

div(fA) = f div A + <grad f | A>

div(A+B) = <B – rot A> - <A | rot B>

rot(fA) = grad fxA + f rot A

∆(φ – ψ) = ψ∆φ + φ∆ψ + 2<grad φ | grad ψ>

19. Гармонические функции. Свойства.

Потенциальное поле U(x,y,z) в однородном пространстве в области, где отсутствуют источники поля, удовлетворяют уравнению Лапласа:

div grad U = ∆U(x,y,z) = 0

Функция U(x,y,z), удовлетворяющая уравнению Лапласа, называется гармонической. Физический смысл: на поверхности земли или другой области измеряется физическое поле.

В зависимости от характера краевых условий, аналитическое продолжение осуществляется по краевым значениям гармонической функции – это задача Дирихле, по краевым значениям ее нормальной производной – задача Неймана.

Для решения задачи надо воспользоваться формулой и тождеством Грина.

– тождество Грина.

– формула Грина.

Краевые значения нормальной производной гармонической функции не могут быть заданы совершенно произвольно и независимо от краевых значений самой функции.

Граничные значения гармонической функции и граничные значения тесно связаны. Гармоническая в области С функция может быть восстановлена лишь по своим краевым значениям без использования информации о нормальной производной (Дирихле). Нахождение гармоничной в области С функции лишь по ее краевым значениям ее нормальной производной (Неймана). Граничные значения выражаются друг через друга.

20. Криволинейные координаты.

Выбор системы координат при решении практических задач определен спецификой самой задачи. От уравнений и утверждений, записанных в одной системе, легко можно перейти к утверждениям и уравнениям в другой путем координатных преобразований.

Наряду с прямоугольными декартовыми распространенны сферические и цилиндрические системы координат.

Цилиндрическая система координат: x=r Cos(ф); y=r Sin(ф); z=z (при расчете полей в скважинах, трубах или др. телах с цилиндрической формой).

Сферическая система – естественная система, связанная с Землей как планетой:

x=R SinѲ Cosϕ; y=R SinѲ Sinϕ; z=R CosѲ.

Все введенные нами операции (div, rot, grad) для оператора Лапласа:

– в сферической

– в цилиндрической.

22. Сдвиговые деформации.

Деформация сдвига возникает в тех случаях, когда внешние силы, действующие на брус, расположены в параллельных плоскостях на очень малом расстоянии друг от друга и направлены в противоположные стороны. Характерным примером для сдвига является резание материалов ножницами, при этом происходит разрушение, называемое срезом. При деформациях сдвига возникают касательные напряжения, определяемые формулой τ_ср=Q:F.

При сдвиге справедлив закон Гука, который определяется таким образом:

τ=Gγ, где γ - относительный сдвиг, a G - величина модуля упругости при сдвиге.

Порядок расчета на прочность при сдвиге такой же, как и при расчетах при растяжении (сжатии).