Глава 2. Линейные уравнения на плоскости и в пространстве

§ 2.1. Прямая линия на плоскости и плоскость в пространстве

2.1.1. Основная теорема

Рассмотрим общий вид линейного уравнения (т. е. уравнения первой степени) в трёхмерном пространстве:

Ax + By + Cz + D = 0 (1)

и на плоскости:

Ax + By + C = 0. (2)

Обозначим через n вектор {A; B; C} (в двумерном случае {A; B}).

Основная теорема. Если n ≠ 0, то уравнение (1) является уравнением плоскости, а уравнение (2) − прямой линии. При этом вектор n ортогонален этой плоскости или пря­мой.

Доказательство буду вести для трёхмерного случая, для двумерного рассуждение аналогично.

Обозначим через Γ множество всех тех и только тех точек пространства, коорди­наты которых удовлетворяют уравнению (1). Нам надо доказать, что Γ есть плоскость, перпендикулярная n.

Убедимся прежде всего, что множество Γ непусто. Хотя бы одно из чисел A, B и C не равно 0. Пусть, например, B ≠ 0. (Для других случаев рассуждение аналогично.) Будем искать точку (x₀; y₀; z₀), удовлетворяющую уравнению (1) и дополнительным условиям x₀ = 0 и z₀ = 0. Получаем уравнение

By₀ + D = 0,

которое имеет (единственное) решение , потому что B ≠ 0. Следовательно, точка (0; ; 0)  Γ и Γ непусто. Возьмём и зафиксируем теперь какую-нибудь точку, принадлежа­щую Γ (они есть), и обозначим её через M₀. Пусть её координаты суть (x₀; y₀; z₀). Так как эта точка принадлежит Γ, для её координат справедливо соотношение:

Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D = 0. (1)

Вычитая из уравнения (1) равенство (1), мы получаем новое уравнение

A(x − x₀) + B(y − y₀) + C(z − z₀) = 0, (1*)

очевидным образом равносильное уравнению (1) (т. к. мы можем вернуться к уравнению (1), прибавляя к уравнению (1*) равенство (1)). Значит, уравнение (1*) определяет то же самое множество Γ.

Возьмём теперь произвольную точку M = (x; y; z) из множества Γ и распишем ко­ординаты вектора :

{ x − x₀; y − y₀; z − z₀}.

Уравнение (1*) можно записать теперь так:

(n, ) = 0. (3)

Это новое равенство (3) показывает нам, что точка M принадлежит множеству Γ тогда и только тогда, когда n  . Обозначим через π плоскость, проходящую через точку M₀ и перпендикулярную вектору n. Если точка M принадлежит множеству Γ, то n   . Прямая M₀M перпендикулярна вектору n и, следовательно, лежит в π. Значит, точка M лежит в π. Но, очевидно, верно и обратное, так что Γ = π, QED.

Следствие из теоремы. Уравнение плоскости, проходящей через точку с координа­тами (x₀; y₀; z₀) и ортогональной данному ненулевому вектору с координатами {A; B; C}, имеет вид:

A(x − x₀) + B(y − y₀) + C(z − z₀) = 0

(в двумерном случае уравнение прямой, проходящей через точку с координатами (x₀; y₀) и ортогональной данному ненулевому вектору с координатами {A; B}, есть A(x − x₀) + B(y − − y₀) = 0).

Примечания. 1. Заметим, что выполнение неравенства n ≠ 0 в условии теоремы существенно, ибо если n = 0, то в трёхмерном случае мы получим либо пустое множество (если D ≠ 0), либо всё пространство (если D = 0). Равным образом в двумерном случае по­лучим либо пустое множество (если C ≠ 0), либо всю плоскость (если C = 0).

2. Верно и обратное утверждение: любая плоскость в трёхмерном пространстве об­ладает уравнением вида (1), а любая прямая на плоскости − уравнением вида (2).

Доказательство (для трёхмерного случая). Возьмём произвольный вектор n = {A; B; C} ≠ 0, ортогональный данной плоскости, и произвольную точку M₀ = (x₀; y₀; z₀), ей принадлежащую. Рассмотрим уравнение (1*). По основной теореме оно определяет плос­кость, перпендикулярную вектору n. Очевидно также, что эта плоскость проходит через точку M₀. Но такая плоскость единственна и совпадает с данной.

Определение. Уравнения (1) и (2) называются общими уравнениями соответст­венно плоскости и прямой.