2.1.2. Условия параллельности и перпендикулярности

1. Условие компланарности двух плоскостей

Пусть даны две плоскости:

A₁x + B₁y + C₁z + D₁ = 0, n₁ = {A₁; B₁; C₁} ≠ 0; (1)

A₂x + B₂y + C₂z + D₂ = 0, n₂ = {A₂; B₂; C₂} ≠ 0. (2)

Когда они компланарны (т. е. параллельны или совпадают)? Очевидно, это будет тогда и только тогда, когда их нормальные векторы коллинеарны. Применяя критерий компла­нарности, получаем

Предложение 1. Две плоскости компланарны тогда и только тогда, когда вектор­ное произведение их нормальных векторов равно нулевому вектору:

[n₁, n₂] = 0.

2. Условие совпадения двух плоскостей

Предложение 2. Плоскости (1) и (2) совпадают тогда и только тогда, когда все че­тыре их коэффициента пропорциональны, т. е. существует такое число λ, что

A₂ = λA₁, B₂ = λB₁, C₂ = λC₁, D₂ = λD₁. (3)

Доказательство. Пусть условия (3) выполнены. Тогда уравнение второй плоскости может быть записано так:

λA₁x + λB₁y + λC₁z + λD₁ = 0.

λ ≠ 0, иначе было бы A₂ = B₂ = C₂ = D₂ = 0, что противоречит условию n₂ ≠ 0. Следова­тельно, последнее уравнение эквивалентно уравнению (1), а это означает, что две плоско­сти совпадают.

Пусть теперь, наоборот, известно, что данные плоскости совпадают. Тогда их нор­мальные векторы коллинеарны, т. е. существует такое число λ такое, что

A₂ = λA₁, B₂ = λB₁, C₂ = λC₁.

Уравнение (2) можно теперь переписать в виде:

λA₁x + λB₁y + λC₁z + D₂ = 0.

Умножим уравнение (1) на λ, получим равносильное уравнение первой плоскости (т. к. λ ≠ 0):

λA₁x + λB₁y + λC₁z + λD₁ = 0.

Возьмём какую-нибудь точку (x₀, y₀, z₀) из первой (а следовательно, и второй) плоскости и подставим её координаты в последние два уравнения; получим верные равен­ства:

λA₁x₀ + λB₁y₀ + λC₁z₀ + D₂ = 0 ;

λA₁x₀ + λB₁y₀ + λC₁z₀ + λD₁ = 0.

Вычитая из верхнего нижнее, получим D₂ − λD₁ = 0, т. е. D₂ = λD₁, QED.

3. Условие перпендикулярности двух плоскостей

Очевидно, для этого необходимо и достаточно, чтобы нормальные векторы были перпендикулярны.

Предложение 3. Две плоскости перпендикулярны тогда и только тогда, когда ска­лярное произведение нормальных векторов равно нулю:

(n₁, n₂) = 0.

2.1.3. Расстояние от точки до плоскости

Пусть дано уравнение плоскости

Ax + By + Cz + D = 0, n = {A; B; C} ≠ 0,

и точка M₀ = (x₀, y₀, z₀). Выведем формулу расстояния от точки до плоскости:

Возьмём произвольную точку Q = (x₁, y₁, z₁), лежащую в данной плоскости. Её ко­ординаты удовлетворяют уравнению плоскости:

Ax₁ + By₁ + Cz₁ + D = 0.

Заметим теперь, что искомое расстояние d равно абсолютной величине проекции вектора на направление вектора n (здесь мы берём проекцию как числовую величину, а не как вектор). Далее применяем формулу для вычисления проекции:

QED.

Аналогичная формула справедлива для расстояния d от точки M₀ = (x₀, y₀) плоско­сти до прямой, заданной общим уравнением Ax + By + C = 0:

§ 2.2. Прямая линия в пространстве

Прямую линию в трёхмерном пространстве невозможно задать одним линейным уравнением, т. к. это будет уравнение плоскости (за известными исключениями). Однако её можно задать нелинейным уравнением. Например, уравнение

x² + z² = 0

задаёт, очевидно, ось ординат. Мы, однако, занимаемся здесь пока исключительно линей­ными уравнениями. Горю помочь нетрудно, если рассмотреть вместо одного уравнения систему линейных уравнений.