1.4.2. Основные свойства векторного произведения

1. [b, a] = −[a, b] (антикоммутативность).

2. [a + b, c] = [a, c] + [b, c].

3. [λa, b] = λ[a, b].

4. [a, b + c] = [a, b] + [a, c].

5. [a, λb] = λ[a, b].

6. [[a, b], c] + [[b, c], a] + [[c, a], b] = 0 (тождество Jacobi^⁸).

Свойства 2−5 в совокупности называются свойством билинейности векторного произведения, свойства 2−3 − линейностью по первому аргументу, 4−5 − линейностью по второму аргументу. Эти свойства будут доказаны позже. Заметим, что из свойств 1 и 2 легко вывести свойство 4 и, наоборот, из 1 и 4 выводится 2. Аналогично из свойств 1 и 3 легко вывести свойство 5 и, наоборот, из 1 и 5 выводится 3. Свойство 1 было только что доказано. Тождество Jacobi оставим без доказательства.

Геометрический смысл векторного произведения. Длина векторного произведения равна площади параллелограмма, построенного на данных векторах, если их привести к общему началу.

Доказательство. Очевидно из 2б), т. к. по этой формуле, как известно, как раз и вычисляется площадь параллелограмма.

Предложение 1 (критерий коллинеарности). Два вектора трёхмерного пространства коллинеарны тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно 0 (нулевому вектору).

Доказательство. В самом деле, если a и b коллинеарны, то [a, b] = 0 по п. 1 определения 3. Если же они неколлинеарны, то по п. 2б) |c| = |a|∙|b|∙sin (a, b), но синус угла между векторами не может равняться нулю, иначе угол будет равен 0 или 180, что означает коллинеарность. Также не могут равняться нулю длины двух данных векторов, иначе был бы равен нулю хотя бы один из данных векторов, а тогда опять была бы коллинеарность. Следовательно, формула 2б) показывает, что в этом случае длина векторного произведения есть произведение трёх ненулевых чисел и, следовательно, не равна нулю, а значит, не равно нулю и само векторное произведение, QED.

Предложение 2. При перестановке сомножителей векторное произведение меняет знак.

Доказательство. Пусть даны два вектора a и b в трёхмерном пространстве. Если они коллинеарны, то по п. 1 оба векторных произведения [a, b] и [b, a] равны 0. Если данные векторы неколлинеарны, то однозначно определяется плоскость π, которая через них проходит. Пункты 2а) и 2б) определения 3 показывают, что оба векторных произведения [a, b] и [b, a] перпендикулярны плоскости π и имеют одну и ту же длину |a|∙|b|∙sin (a, b). Вместе с тем вращение вектора b в сторону вектора a будет противоположным по сравнению с вращением вектора a в сторону вектора b. Так как это вращение должно выглядеть как вращение против часовой стрелки, если смотреть из конца векторного произведения, то векторы [a, b] и [b, a] противоположно направлены, QED.