1.3.4. Основные свойства скалярного произведения

1. (b, a) = (a, b) (коммутативность).

2. (a + b, c) = (a, c) + (b, c).

3. (λa, b) = λ(a, b).

4. (a, b + c) = (a, b) + (a, c).

5. (a, λb) = λ(a, b).

6. (a, a) всегда ≥ 0, причём (a, a) = 0 в том и только в том случае, когда a = 0 (по­ложительная определённость скалярного произведения).

Свойства 2−5 в совокупности называются свойством билинейности скалярного произведения, свойства 2−3 − линейностью по первому аргументу, 4−5 − линейностью по второму аргументу. Эти свойства будут доказаны в следующем пункте. Заметим, что из свойств 1 и 2 легко вывести свойство 4 и, наоборот, из 1 и 4 выводится 2. Анало­гично из свойств 1 и 3 легко вывести свойство 5 и, наоборот, из 1 и 5 выводится 3. Свойство 1 очевидно из определения. Для доказательства свойства 6 заметим, что ска­лярный квадрат равен квадрату длины данного вектора и, следовательно, есть неотрица­тельное число. Если же это число равно 0, то квадрат длины данного вектора равен 0, т. е. его длина равна 0 и, следовательно, сам вектор равен 0 (только нулевой вектор имеет ну­левую длину!).

1.3.5. Связь между проекцией и скалярным произведением

Пусть даны два вектора a и b, причём вектор a ≠ 0. Приведём их к общему началу и обозначим угол между данными векторами через . Имеем, очевидно,

Pr_ab = |b|∙cos .

Отмечу, что эта формула правильно учитывает знак величины проекции Pr_ab. В самом деле, если угол  острый, то вектор проекции сонаправлен с вектором a, а косинус в этом случае положителен. Получается, что в обеих частях равенства неотрицательные числа. Наоборот, если угол  туп, то вектор проекции противоположно направлен с вектором a, а косинус в этом случае отрицателен. Тогда в обеих частях равенства неположительные числа. Далее:

(a, b) = |a|∙|b|∙cos  = |a|∙ Pr_ab.

Мы получили, следовательно, формулу для вычисления величины проекции через скаляр­ное произведение:

Pr_ab =

Пользуясь этими формулами, докажем теперь свойство 4 скалярного произведе­ния:

(a, b + c) = |a|∙ Pr_a(b + c) = |a|∙ Pr_ab + |a|∙ Pr_ac = (a, b) + (a, c),

QED.

Это доказательство не проходит в случае a = 0 (т. к. нельзя рассматривать проек­ции на нулевой вектор). Но в этом случае свойство 4 и так очевидно, т. к. в обеих частях равенства стоят нули.

Выражение скалярного произведения через координаты

Пусть даны два вектора: a = {a₁; a₂; a₃} и b = {b₁; b₂; b₃}. Мы сейчас выве­дем сле­дующую формулу для вычисления значения скалярного произведения (a, b):

(a, b) = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃.

Для плоского случая, когда a = {a₁; a₂} и b = {b₁; b₂}, эта формула приобретает более про­стой вид:

(a, b) = a₁b₁ + a₂b₂.

Докажем её для этого более простого (двумерного) случая (для трёхмерного случая дока­зательство аналогично). Вычисляем:

(a, b) = ({a₁; a₂}, {b₁; b₂}) = (a₁e₁ + a₂e₂, b₁e₁ + b₂e₂) =

= (a₁e₁, b₁e₁) + (a₁e₁, b₂e₂) + (a₂e₂, b₁e₁) + (a₂e₂, b₂e₂) =

= a₁b₁(e₁, e₁) + a₁b₂(e₁, e₂) + a₂b₁(e₂, e₁) + a₂b₂(e₂, e₂) =

= a₁b₁∙1 + a₁b₂∙0 + a₂b₁∙0 + a₂b₂∙1 = a₁b₁ + a₂b₂,

QED. (Я воспользовался билинейностью скалярного произведения.)