1.2.2. Деление отрезка в данном отношении

Постановка задачи. Пусть в пространстве (на плоскости) даны две различные точки A и B. Тогда однозначно определена проходящая через них прямая l. Возьмём те­перь произвольную точку C на этой прямой с единственным условием C ≠ B. Тогда вектор будет коллинеарен вектору , и при этом ≠ 0. В силу предложения о двух колли­неарных векторах из п. 1.1.2нцао отрезка.

ваются.000000000000000000000000000000000000000000000000 (лекция № 2 от 08.09.09) существует, и притом единствен­ное, число λ такое, что = λ .

Определение. В описанной ситуации говорят, что точка C делит отрезок AB (но не BA!) в отношении λ.

Иногда это выражают в виде равенства

λ =

Надо только иметь в виду, что в этой формуле берутся не длины, а величины отрезков AC и CB. Если отрезки AC и CB одинаково направлены, то этому отношению присваивается знак плюс, если противоположно направлены − знак минус. Так получается варьянт опре­деления, эквивалентный вышеприведённому.

Заметим, что λ положительно, если точка C лежит на прямой l между точками A и B, и оно отрицательно, если точка C лежит на прямой l вне отрезка AB. Если C = A, то λ = = 0. При λ = 1 имеем середину отрезка. Можно доказать, что λ принимает любые значения, кроме −1 (мы этого доказывать не будем).

Задача. Даны координаты точек A и B и число λ. Требуется найти координаты точки C.

Решение. Сначала решим задачу в векторном виде. Пусть O − сначала произволь­ная точка пространства (плоскости). Имеем:

+ = ;

= − ;

= + = + λ = + λ( − );

(1 + λ) = + λ ;

(Как было сказано выше, λ не может равняться −1.) Последнее равенство можно считать решением нашей задачи в векторном виде.

Пусть теперь O − не произвольная точка, а начало координат. Пусть также

A = (x₁, y₁, z₁), B = (x₂, y₂, z₂), C = (x*, y*, z*).

Тогда

x* = absc. C = absc. = =

= =

Аналогично для других координат. Окончательно имеем формулы:

x* =

y* =

z* =

Для середины отрезка, т. е. для случая λ = 1, имеем особенно простые формулы:

x* =

y* =

z* =

т. е. мы доказали

Предложение. Координаты середины отрезка суть средние арифметические соот­ветствующих координат концов этого отрезка.

§ 1.3. Скалярное произведение

1.3.1. Понятие проекции

Определение 1. (Направленной) осью называется прямая линия с выбранным на ней одним из двух возможных направлений.

Обычно направленная ось изображается в виде прямой со стрелкою.

Определение 2. Пусть дан вектор a и ось l. Реализуем вектор a в виде направлен­ного отрезка : a = . Пусть A − (ортогональная) проекция точки A на ось l, а B − про­екция точки B. Тогда вектор называется (ортогональной) проекцией (а точнее, век­тором проекции) вектора на ось l.

Заметим, что слово проекция может употребляться в трёх различных значениях.

1. Только что определённый вектор проекции (проекция как вектор), который мы будем обозначать .

2. Величина проекции (число со знаком), которую мы будем обозначать . Это есть число, равное длине вектора проекции, снабжённое знаком плюс, если вектор a и ось l одинаково направлены, и знаком минус, если они противоположно направлены.

3. Длина проекции. Обозначение: | |.