1.4.3. Выражение векторного произведения через координаты

Сначала составим таблицу умножения базисных векторов e₁, e₂ и e₃ друг на дружку:

	e1	e2	e3
e1	0	e3	−e2
e2	−e3	0	e1
e3	e2	−e1	0

(в первом столбце стоит первый сомножитель, в первой строке − второй).

Введём также обозначение:

(т. н. определитель второго порядка).

Пусть теперь даны два вектора: a = {a₁; a₂; a₃} и b = {b₁; b₂; b₃}. Мы сейчас выве­дем следующую формулу для вычисления значения векторного произведения [a, b]:

Вычисляем:

[a, b] = [{a₁; a₂; a₃}, {b₁; b₂; b₃}] = [a₁e₁ + a₂e₂ + a₃e₃, b₁e₁ + b₂e₂ + b₃e₃] =

= [a₁e₁, b₁e₁] + [a₁e₁, b₂e₂] + [a₁e₁, b₃e₃] +

+ [a₂e₂, b₁e₁] + [a₂e₂, b₂e₂] + [a₂e₂, b₃e₃] +

+ [a₃e₃, b₁e₁] + [a₃e₃, b₂e₂] + [a₃e₃, b₃e₃] =

= a₁b₁[e₁, e₁] + a₁b₂[e₁, e₂] + a₁b₃[e₁, e₃] +

+ a₂b₁[e₂, e₁] + a₂b₂[e₂, e₂] + a₂b₃[e₂, e₃] +

+ a₃b₁[e₃, e₁] + a₃b₂[e₃, e₂] + a₃b₃[e₃, e₃] =

= 0 + a₁b₂e₃ − a₁b₃e₂ −

− a₂b₁e₃ + 0 + a₂b₃e₁ +

+ a₃b₁e₂ − a₃b₂e₁ + 0 =

= (a₂b₃ − a₃b₂)e₁ − (a₁b₃ − a₃b₁)e₂ + (a₁b₂ − a₂b₁)e₃,

QED. (Я воспользовался вышеприведённой таблицей умножения базисных векторов.)

1.4.4. Смешанное произведение трёх векторов

Определение. Смешанное произведение трёх векторов a, b и c есть по определению следующее число:

(a, b, c) = ([a, b], c)

(оно определяется только в трёхмерном пространстве).

1.4.5. Свойства смешанного произведения

1. Абсолютная величина смешанного произведения равна объёму параллелепи­педа, построенного на трёх данных векторах, если их привести к общему началу.

2. Если (a, b, c) > 0, то векторы a, b и c образуют правую тройку.

Если (a, b, c) < 0, то векторы a, b и c образуют левую тройку.

Если (a, b, c) = 0, то векторы a, b и c компланарны.

Докажем утверждение 1. Можно считать, что векторы a и b неколлинеарны. В противном случае параллелепипед вырождается в параллелограмм (или даже в отрезок, если все три вектора коллинеарны). Тогда можно считать, что объём параллелепипеда ра­вен нулю, но и смешанное произведение будет равно нулю, т. к. [a, b] = 0, так что в этом случае утверждение 1 (условно) выполняется.

Итак, пусть векторы a и b неколлинеарны. Тогда однозначно определена проходя­щая через них плоскость π. Условно будем считать её горизонтальной. Заметим, что век­тор [a, b] перпендикулярен π, т. е. торчит вертикально вверх или вниз. Высота H нашего параллелепипеда будет тогда равна абсолютной величине проекции вектора c на [a, b], а площадь основания S − площади параллелограмма, построенного на векторах a и b, т. е. длине вектора [a, b]. Имеем:

|(a, b, c)| = |([a, b], c)| = |[a, b]|∙|pr_{[a, b]}c| = SH = V,

т. е. объёму параллелепипеда, QED.

Для доказательства утверждения 2 достаточно заметить, что если (a, b, c) = = ([a, b], c) > 0, то скалярное произведение [a, b] на c положительно, угол между [a, b] и c меньше 90, и вектор c кончается в том же полупространстве, что и [a, b], что и означает, что тройка a, b и c − правая (т. к. тройка a, b, [a, b] всегда правая).

Наоборот, если (a, b, c) = ([a, b], c) < 0, то скалярное произведение [a, b] на c отри­цательно, угол между [a, b] и c больше 90, и вектор c кончается в другом полупростран­стве, нежели [a, b], что и означает, что тройка a, b и c − левая.

Если же (a, b, c) = ([a, b], c) = 0, то это означает, что вектор c перпендикулярен [a, b], т. е. лежит в плоскости π, и все три вектора компланарны (т. к. все три лежат в од­ной и той же плоскости π).

Предложение (критерий компланарности). Три вектора компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю.

Доказательство. В одну сторону это вытекает из нашего пункта 2. Пусть теперь векторы компланарны. Тогда вектор c перпендикулярен вектору [a, b], и скалярное произ­ведение ([a, b], c) = 0, но оно как раз равно смешанному произведению (a, b, c).

Доказательство линейности векторного произведения

Мы теперь в состоянии доказать формулу:

[a + b, c] = [a, c] + [b, c].

Доказательству предпошлём лемму:

Лемма. При перестановке любых двух сомножителей смешанное произведение меняет знак (не меняя абсолютной величины).

В самом деле, абсолютная величина не меняется, т. к. и то, и другое равно объёму параллелепипеда; что же касается знака, он меняется на противоположный, т. к. меняется ориентация тройки (левая переходит в правую, и наоборот).

Обозначим теперь через h вектор, равный [a + b, c] − [a, c] − [b, c]. Нам достаточно доказать, что он равен 0. Вместо этого докажем, что его скалярный квадрат равен нулю. (Отсюда будет вытекать, что квадрат длины равен 0, значит, длина равна 0 и, значит, сам вектор равен 0.) Вычисляем скалярный квадрат:

(h, h) = ([a + b, c] − [a, c] − [b, c], h) =

= ([a + b, c], h) − ([a, c], h) − ([b, c], h) =

= (a + b, c, h) − (a, c, h) − (b, c, h) =

= −(h, c, a + b) + (h, c, a) + (h, c, b) =

= −([h, c], a + b) + ([h, c], a) + ([h, c], b) = 0

в силу линейности скалярного произведения, QED.