Изменение условий финансовых договоров Краткая теория.

В практической деятельности часто возникает необходимость изменения условий ранее заключенного контракта – объединение нескольких платежей или замене единовременного платежа рядом последовательных платежей.

Естественно, что в таких условиях ни один из участников финансовой операции не должен терпеть убыток, вызванный изменением финансовых условий.

Решение подобных задач сводится к построению уравнения эквивалентности, в котором сумма заменяемых платежей, приведенная к какому-то одному моменту времени, приравнена к сумме платежей по новому обязательству, приведенному к тому же моменту времени.

Для краткосрочных контрактов консолидация осуществляется на основе простых ставок.

В случае с объединением (консолидированием) нескольких платежей в один сумма заменяемых платежей, приведенных к одной и той же дате, приравнивается к новому обязательству:

FV₀ = ΣFV_j • (1 + i • t_j),

где

t_j – временной интервал между сроками,

t_j = n₀ - n_j.

Конечно, существуют различные возможности изменения условий финансового соглашения, и в соответствии с этим многообразие уравнений эквивалентности.

Готовыми формулами невозможно охватить все случаи, возникающие в практической деятельности, но в каждой конкретной ситуации при замене платежей уравнение эквивалентности составляется похожим образом.

Если платеж FV₁ со сроком n₁ надо заменить платежом FV_об. со сроком n_об. (n_об. > n₁) при использовании сложной процентной ставки i, то уравнение эквивалентности имеет вид:

FV_об. = FV₁ • (1 + i)ⁿ_об. ^{- n}₁

Примеры решения задач.

Задача 4.1:

Решено консолидировать два платежа со сроками 20.04 и 10.05 и суммами платежа 20 тыс. руб. и 30 тыс. руб.

Срок консолидации платежей 31.05.

Определить сумму консолидированного платежа при условии, что ставка равна 10% годовых.

Решение:

Определим временной интервал между сроками для первого платежа и консолидированного платежа:

t₁= 11(апрель) + 31(май) - 1 = 41 день;

для второго платежа и консолидированного платежа:

t₂ = 22(май) - 1 = 21 день.

Отсюда сумма консолидированного платежа будет равна:

FV_oб. = FV₁ • (1 + t₁ / T • i) + FV₂ • (1 + t₂ / T • i) =

= 20'000 • (1 + 41/360 • 0,1) + 30'000 • (1 + 21/360 • 0,1) = 50'402,78 руб.

Таким образом, консолидированный платеж со сроком 31.05 составит 50'402,78 руб.

Задача 4.2:

Предлагается платеж в 45 тыс. руб. со сроком уплаты через 3 года заменить платежом со сроком уплаты через 5 лет.

Найти новую сумму платежа, исходя из процентной ставки 12 % годовых.

Решение:

Поскольку n_об. > n₁, то платеж составит:

FV_об. = FV₁ (1 + i)ⁿ_об. ^{- n}₁ = 45'000 (1 + 0,12)^{5 - 3} = 56'448 руб.

Таким образом, в новых условиях финансовой операции будет предусмотрен платеж 56'448 руб.

Не забудьте, что дата выдачи и дата погашения считается за один день.

Дисконтирование денежных величин

Краткая теория.

В финансовой практике часто приходится решать задачи, обратные определению наращенной суммы: по уже известной наращенной сумме (FV) следует определить неизвестную первоначальную сумму долга (PV).

Такие ситуации возникают при разработке условий финансовой сделки, или когда проценты с наращенной суммы удерживаются непосредственно при выдаче ссуды.

Процесс начисления и удержания процентов вперед, до наступления срока погашения долга, называют учетом, а сами проценты в виде разности наращенной и первоначальной сумм долга дисконтом (discount):

D = FV - PV

Термин «дисконтирование» в широком смысле означает определение значения стоимостной величины на некоторый момент времени при условии, что в будущем она составит заданную величину.

Не редко такой расчет называют приведением стоимостного показателя к заданному моменту времени, а величину PV называют приведенной (современной или текущей) величиной FV.

Таким образом, дисконтирование – приведение будущих денег к текущему моменту времени, и при этом не имеет значения, имела ли место в действительности данная финансовая операция или нет, а также независимо от того, можно ли считать дисконтируемую сумму буквально наращенной.

Именно дисконтирование позволяет учитывать в стоимостных расчетах фактор времени, поскольку дает сегодняшнюю оценку суммы, которая будет получена в будущем.

Привести стоимость денег можно к любому моменту времени, а не обязательно к началу финансовой операции.

Исходя из методики начисления процентов, применяют два вида дисконтирования:

• математическое дисконтирование по процентной ставке;

• банковский учет по учетной ставке.

Различие в ставке процентов и учетной ставке заключается в различии базы для начислений процентов:

• в процентной ставке в качестве базы берется первоначальная сумма долга:

i = (FV - PV) / PV

• в учетной ставке за базу принимается наращенная сумма долга:

d = (FV - PV) / FV

Проценты, начисленные по ставке процентов, называются антисипативными, а по учетной ставке – декурсивными.

Математическое дисконтирование – определение первоначальной суммы долга, которая при начислении процентов по заданной величине процентной ставки ( i ) позволит к концу срока получить указанную наращенную сумму:

для простых процентов

PV = FV : (1 + n • i ) = FV • 1 / (1 + n • i ) =

= FV • (1 + n • i ) ^-1 = FV • k_д,

где

k_д – дисконтный множитель (коэффициент приведения) для простых процентов.

Дисконтный множитель показывает, какую долю составляет первоначальная сумма долга в величине наращенной суммы.

Для сложных процентов

PV = FV • (1 + i) ^-n = FV • k_д,

где

k_д – дисконтный множитель для сложных процентов.

Если начисление процентов производится m раз в год, то формула примет вид:

PV = FV • (1 + j / m) ^{-m • n} .

Современная величина и процентная ставка, по которой проводится дисконтирование, находятся в обратной зависимости: чем выше процентная ставка, тем при прочих равных условиях меньше современная величина.

В той же обратной зависимости находятся современная величина и срок финансовой операции: чем выше срок финансовой операции, тем меньше при прочих равных условиях современная величина.

Банковский учет – второй вид дисконтирования, при котором исходя из известной суммы в будущем, определяют сумму в данный момент времени, удерживая дисконт.

Операция учета (учет векселей) заключается в том, что банк или другое финансовое учреждение до наступления платежа по векселю покупает его у предъявителя по цене ниже суммы векселя, т.е. приобретает его с дисконтом.

Сумма, которую получает векселедержатель при досрочном учете векселя, называется дисконтированной величиной векселя.

При этом банк удерживает в свою пользу проценты (дисконт) от суммы векселя за время, оставшееся до срока его погашения.

Для расчета дисконта используется учетная ставка:

• простая учетная ставка:

D = FV - PV = FV • n • d = FV • t / T • d ,

где

n – продолжительность срока в годах от момента учета до даты выплаты известной суммы в будущем.

Отсюда:

PV = FV - FV • n • d = FV • (1 - n • d),

где

(1 - n • d) – дисконтный множитель.

Очевидно, что чем выше значение учетной ставки, тем больше дисконт.

Дисконтирование по простой учетной ставке чаще всего производится по французской практике начисления процентов, т.е. когда временная база принимается за 360 дней, а число дней в периоде берется точным.

• по сложной учетной ставке:

PV = FV • (1 - d) ⁿ

При использовании сложной учетной ставки процесс дисконтирования происходит с прогрессирующим замедлением, т.к. учетная ставка каждый раз применяется к уменьшаемой на величину дисконта величине.

Объединение платежей можно производить и на основе учетной ставки, например, при консолидировании векселей.

В этом случае, сумма консолидированного платежа рассчитывается по следующей формуле:

FV_oб = ΣFV_j • (1 - d • t_j) ^-1 ,

где

t_j – интервал времени между сроками векселей.

В том случае, когда учету подлежит долговое обязательство, по которому предусматривается начисление процентов, происходит совмещение начисления процентов по процентной ставке и дисконтирования по учетной ставке:

PV₂ = PV₁ • (1 + n₁ • i ) • (1 - n₂ • d ),

где

PV₁ – первоначальная сумма долга;

PV₂ – сумма, получаемая при учете обязательства;

n₁ – общий срок платежного обязательства;

n₂ – срок от момента учета до погашения.