1 Этап: Определение точечных оценок результатов измерений.

Исходная информация – ряд результатов измерений (n4): х₁, х₂, …х_n.

1. На этом этапе определяются среднее арифметическое и среднеквадратическое S_х результатов измерения (3.16, 3.19).

2. Исключаются грубые погрешности (промахи).

3. Производится повторный расчет и S_х.

Если априори (до опыта) закон распределения измеряемой величины неизвестен, то переходят к следующему этапу

2 Этап: Определение закона распределения результатов измерения.

Построение гистограммы и оценка закона распределения по статистическим критериям.

Необходимо отметить, что достаточно надежно закон распределения можно идентифицировать при n50. При этом последовательность обработки следующая:

1. Построение вариационного ряда, т.е. распределение результатов измерения упорядоченно:

х₁  х₂ х₃ …  х_n

2. Этот ряд разбивается на оптимальное число k одинаковых интервалов:

k = 1+3,2 lg n (102;3)

3. Определяется длина интервала =

4. Определяется середина области изменения выборки: х_ср=

5. Подсчитывают число попаданий n_i (частоты) результатов измерений в каждый интервал.

6. Рассчитывают вероятности попадания (частоты) результатов измерения в каждый интервал:

=

7. Строят гистограмму (экспериментальное распределение).

Выдвигаем гипотезу в виде закона распределения и по критерию Пирсона проверяем ее.

Пример:

Произведено 40 измерений величины

• Ошибки измерения сведены в вариационный ряд; при этом

х_мин = 0,3; х_макс = 7,1

• Определяем число интервалов:

k = 1+3,2 lg 40 = 1+3,21,602 = 6,13

Выбираем k = 7

• Определяем величину интервала:

_х= выбираем  = 1,0

• Находим середину ряда:

х_ср=

• Находим n_i и p_i :

n₁= 2; n₂ = 4; n₃ = 9; n₄ = 13; n₅ = 8; n₆ = 3; n₇ = 1

р₁= 0,05; р₂ = 0,1; р₃ = 0,225; р₄ = 0,325; р₅ = 0,2; р₆ = 0,075; р₇ = 0,025

• Строим гистограмму

Рис. 5.1

3 Этап.

Если удалось идентифицировать закон распределения результатов измерений, то с его использованием находят квантильный множитель Z_р при заданной вероятности Р и находят доверительный интервал: ,

Где - среднеквадратическая ошибка среднеарифметического .

Если закон распределения считается известным до опыта (например – нормальный закон распределения – в большинстве случаев), то используют выражения (3.21)

3. Оценка погрешностей при косвенных измерениях.

Косвенные измерения – это измерения, при которых искомое значение ФВ находят на основании известной зависимости:

R = f(B₁,B₂…B_n) (4.1)

Где B_i – значения, полученные при прямых измерениях.

Для расчета погрешности величины R используется метод линеаризации. При этом методе функция (4.1) разлагается в ряд Тейлора и, учитывая, что значения погрешностей – малые величины, остаточными (нелинейными) членами ряда пренебрегаем.

Пусть R = f(B₁, B₂) (4.2)

Если обозначить погрешность измерения B₁ через ₁ , погрешность В₂ – через ₂, а погрешность интересующей нас физической величины R через , то выражение (4.2) можно представить в виде:

R+ = f(B₁+₁; B₂+₂),

которое можно разложить в ряд Тейлора:

(4.3)

Остаточные члены ряда

Пренебрегая остаточными членами ряда, получаем связь между ошибками , ₁ и ₂ в i – ом опыте:

Просуммировав квадраты ошибок, найдем связь между среднеквадратическими ошибками.

Поскольку результаты прямых измерений В₁ и В₂ – независимые случайные величины, то .

Следовательно: Где:

В общем случае (4.1) (4.4)

Рассмотрим частный случай, когда функцию (4.1) можно представить в виде показательной функции:

(4.5)

Где N, ₁, ₂ … целые или дробные числа.

Определим на основании (4.4) среднеквадратическую ошибку _R`

;

Поделим это выражение на :

где - относительные погрешности измерения.

В общем виде, для выражения

… мы получаем: (4.6)

Пример: Измерить мощность постоянного тока в нагрузке R_н с помощью вольтметра. Сопротивление нагрузки: R_н =1000 ом, = 5%. Показание вольтметра: U_х = 10В;