3.2. Классификация величин

Для количественного описания различных свойств, процессов и физических тел вводится понятие величины.

Величина – это свойство чего-либо, которое может быть оценено тем или иным способом, в том числе количественно.

Исходя из принципов получения значения величины их можно разделить на

• Идеальные величины

• Реальные величины.

Идеальные величины служат моделью конкретных реальных понятий.

Например, гармонический процесс математически может быть описан синусоидальной функцией.

Где: Y_m – амплитуда колебаний (величина);

f – частота колебаний (величина);

 - сдвиг фазы (величина).

Реально синусоидальное колебание воспроизвести невозможно (хотя бы потому, что реальный процесс всегда конечен) – это математическая модель.

Реальные величины – это измеренные (т.е. полученные в результате эксперимента) свойства физических объектов или процессов, с помощью которых они могут быть изучены.

Стандарт ГОСТ 16263-70 трактует физическую величину (ФВ) как одно из свойств физического объекта, в качественном отношении общее для многих физических объектов (например, «сопротивление» относится ко всем резисторам), а в количественном – индивидуальное для каждого из них (5 Ом – конкретный резистор).

Физические величины можно разделить на три группы (рис2.1).

Физические величины

Энергетические

(активные)

Характеризующие

процессы

Вещественные

(пассивные)

Рис.2.1

Вещественные ФВ – описывают физические и физико-химические свойства вещества, материалов (масса, емкость, индуктивность и т.п.)

Энергетические ФВ – описывают энергетические характеристики процессов преобразования, передачи энергии (мощность, напряжение, …).

ФВ, характеризующие протекание процессов во времени - спектральные характеристики, корреляционные функции и т.п.

Для измерения вещественных (пассивных) ФВ необходим вспомогательный источник энергии, с помощью которого формируется сигнал измерительной информации (рис 2.2).

R_x= , т.е. R_x=f (I_x)

Рис.2.2 Схема измерения сопротивления резистора R_х . ИОН – источник образцового напряжения.

3.3. Система физических величин и их единиц

МЕТРИЧЕСКАЯ СИСТЕМА.

Важным этапом в развитии европейской науки стало «внедрение» арабских цифр и заслуга в этом принадлежит знаменитому итальянскому математику Фибоначчи.

Леонардо Фибоначчи—самый заметный математик Средневековья. Где-то около 1200г., когда Фибоначчи был в расцвете сил, а крупный торговый город Пиза имел связи с маврами в Северной Африке, Леонардо имел возможность побывать там и воспользоваться плодами мавританского просвещения. К тому времени мусульманский мир принял новую систему написания цифр, позаимствованную от индусов. Фибоначчи изложил ее в книге «Liber Abaci» , опубликованной в 1202году, представил эти «арабские цифры» и подарил их Европе, которая все еще стонала от варварства римских цифр. Поскольку арабские цифры всего примерно в триллион раз полезнее римских, то понадобилась всего пара веков, чтобы убедить европейских купцов пойти на это изменение.

В той же книге Фибоначчи поставил и решил следующую задачу:

Сколько кроликов можно произвести от одной пары в течение года, если каждый месяц каждая пара рождает новую пару, которая со второго месяца своей жизни становится продуктивной, а смерти отсутствуют?

Вот эта последовательность цифр: 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,……144.

Это-последовательность (ряд) Фибоначчи.

Оказалось, что эта последовательность имеет удивительные свойства и имеет весьма важные практические применения:

Описывает кумулятивный рост ;

Описывает распределение листьев на растущей ветке, чешуек на сосновой шишке, семечек в корзинке подсолнуха и т.п.

Последовательность Фибоначчи также оказалась связанной с «золотым сечением», которое важно для искусства и эстетики, а не только для математики!

Отношение предыдущего числа к последующему приближается к значению 0.618 –знаменитое отношение «золотого сечения»!

Эта пропорция лежит в основе многих шедевров архитектуры, и прежде всего, самых знаменитых соборов, храмов.

Сегодня в подавляющем большинстве стран мира принята метрическая система физических единиц. В 2010г на эту систему перешла Англия. Парадоксальным является факт, что передовая в техническом отношении страна США до сих пор пользуется старой, ненаучной дюймовой системой мер. Потери США на международном рынке от применения отсталой системы составляют порядка 20 млрд долларов в год!

Ценность М.С.—это логическая система. Ее единицы разумно связаны друг с другом. Все остальные наборы единиц используют отдельные названия для каждой единицы, относящейся к данному типу величин ( мили, футы, дюймы,…;

унции, фунты, граны,… ). Это как у эскимосов: несколько десятков слов для

различного состояния снега ( рыхлый, плотный, когда снег падает, когда он лег,

и т. д.). В нашем языке для этого используется сочетание прилагательного и существительного: влажный снег, плотный снег, рыхлый снег и т. д.. При этом

такие же прилагательные могут использоваться с другими существительными.

Например: жесткий бетон; жесткое мясо; жесткая постель и т. д. Здесь прилагательное ( жесткий) является обобщающим словом.

Метрическая система единиц—единственная система, которая поднялась до этой ступени!

Метрическую систему создали французские ученые в 1795 году.

ПРИМЕР: Величина длины—метр (metrum –лат.; metron –греч. измерять).

Это общий термин длины ( физическая единица). Дифференцируем единицы длины с помощью прилагательных. В метрической системе прилагательные присоединяют к общему слову ( термину), превращая их в приставку ( префикс).

Приставки используют греческие или латинские. При этом , как правило, греческие слова используют для крупных единиц, а латынь—для мелких.

ПРИМЕР: 1000—хилион (кило); 100—гекатон (гекто); 10—дека

0.1—децем; 0.01—сентум (санти); 0.001—милле (милли).

1 километр =1000 метров

1 гектометр =100 метров

1 декаметр = 10 метров

1 метр = 1 метр

1 дециметр= 0.1 метра

1 сантиметр= 0.01 метра

1 миллмметр=0.001 метра

Не имеет значения, какой длины выбран метр—все остальные ( кратные) длины определены! Благодаря тому, что все остальные единицы различаются как степень 10, легко превращать одни единицы в другие. А попробуйте быстро ответить: сколько дюймов в миле?

К сожалению, французские ученые в своей системе не пошли за отметку—тысяча! Им казалось, что 1000 –это уж очень много, а 0.001 –чрезвычайно маленькая для практики величина. Таким образом они ограничились всего шестью порядками: 0.001—1000.

Так как развитие измерительной аппаратуры продвигало науку к самому крупному и самому мелкому практически во всех областях измерений, систему необходимо было расширить!

Чтобы и здесь навести порядок, в 1958 году Международный комитет мер и весов в Париже принял расширенную систему префиксов с интервалом в 3 порядка. Названия префиксов были заимствованы из греческого языка.

Триллион ( )—Тера (teras-чудовище)

Миллиард ( ) – Гига ( gigas-гигант )

Миллион ( ) -- Мега (megas-огромный)

Тысячные ( )—милли

Миллионные ( ) –микро (micros-маленький)

Миллиардный ( )—нано (nanos-карлик)

Триллионный ( )—пико

Итого 24 порядка!

В 1962году добавлены еще два префикса:

Фемто --

Атто --

В результате получили диапазон величин в 30 порядков !

Однако сегодня мы оперируем размерами величин до 83-х порядков!

Космические расстояния:

Наблюдаемая нами Вселенная простирается до ~4 Гигапарсек .

Парсек—расстояние , находящаяся на котором звезда будет иметь параллакс

в 1 сек. дуги (ПАРалакс—СЕКунда).

1 парсек 3.26 с.г. 3* Тм

Таким образом предельное расстояние до границ изучаемой Вселенной в настоящее время составляет величину ~1.2* м

С другой стороны—размер субатомной частицы (протона) ~1Фм=

Следовательно диапазон размеров в метрах составляет 41 порядок!

Сегодня в подавляющем большинстве стран мира принята метрическая система ФВ.

В 2000г. на эту систему перешла Англия. Среди немногих стран, где она не введена – США. Исторически в разных странах вводились свои единицы ФВ и их названия. Очень часто они связывались с параметрами конечностей человека (локоть, аршин, фут). Сумятицу в системы ФВ вносили и различные системы счисления (единичная, десятичная, двенадцатиричная, и т.п.).

Интересно проследить историю введения единиц длины и времени.

Сегодня каждому американцу известно, что 1 миля равна 1609 метрам.

А что такое миля и морская миля?

Король Англии Генрих I повелел за единицу измерения принять длину своей ступни – «фут» (foot – нога). А умножив 1 фут на 3 (3-знаменательное число, вошло в пословицы, некоторые понятия…) получили единицу длины: «ярд».

1 ярд = 3 фута

Столь же знаменито число 12 (дюжина!)

С ним связана еще одна единица измерения длины:

Дюйм фута

Так вот одну милю определили так:

1 миля = 1760 ярдов

По легенде столько ярдов Генрих I проходил во время утреннего моциона!

Вот так, волею царствующих (а не ученых) вводились некоторые важные единицы ФВ, сохранившиеся до сих пор.

А вот морская миля была введена уже из соображений удобства мореходства. Пусть Земля – идеальный шар (так считали древние). Ее окружность (по экватору, по меридиану) равна 360^о или 21600 мин.

Отсюда:

морская миля, т.е.

1 морская миля = 1 минуте (угловой)

Эти единицы удобны в мореплавании для прокладывания курса, если заданы начальная и конечная точка маршрута в виде их координат: широты и долготы.

Здесь мы встретились с новыми базовыми цифрами (основаниями): 360; 60. Откуда они взялись?

В древности полагали, что 1 год = 360 суток (на самом деле, как известно сегодня, 365,24219878 суток).

Год был поделен на 12 месяцев. Именно «12» стало магическим числом в ряде стран, не связанных между собой (в Европе – 12 знаков Зодиака, в Китае – каждый год по имени одного из 12 животных). Возможно, если бы в Европу не проникли арабские (вернее индийские) цифры (десятичная система), то установилась бы двенадцатеричная система счисления. Ее преимущества: 12 делится на 2,3,4,6 (а 10 только на 2 и 5).Для примера можно показать, что единицы времени также связаны с этими числами:

1 сутки – 1 оборот Земли.

Сутки делятся на день (12 час) и ночь (12 час).

Таким образом появились единицы времени:

т.е. 1 час = 360 секунд

До последнего времени сохранились древние измерения (фут, фунт, аршин и т.п.), причем в разных странах они имеют разное значение по отношению к метру, килограмму.

С развитием науки, промышленности возникла естественная необходимость свести единицы измерения однородных ФВ к единой системе.

В первую очередь необходимо отметить Францию, в которой в 1799г. была введена метрическая система мер. Она была создана в эпоху Великой французской революции и должна была служить «на все времена, для всех народов, для всех стран».

В основе этой системы – десятичная система: значения величин связаны соотношением 10ⁿ (где n… -2,-1,0,1,2,…).

К этому времени были введены единицы ФВ:

«ДЛИНА» часть «нулевого» меридиана.

«МАССА» 1 килограмм – масса 1дм³ воды при температуре 4^оС и др.

В 1832г. Карл Гаусс измерил напряженность магнитного поля Земли, выразив ее через длину, силу, массу и время и ввел первый фундаментальный набор механических единиц (за основу были взяты мм, мг, с; система ММС).

В 1851г. Вильгельм Вебер впервые ввел полную систему электрических величин.

В 1871г. 17 государств (в том числе Россия) подписали Метрическую Конвенцию.

До настоящего времени широкое распространение имеют 2 системы единиц:

• Симметричная или Гауссова: CГC ( основные единицы: сантиметр, грамм, секунда)

• Международная система единица СИ. (SI)

Система CГC существует более 100 лет и до сих пор используется в точных науках (физика, астрономия). Но ее все более теснит система СИ – единственная международная система единиц ФВ, которая принята и используется в большинстве стран мира.

Система СИ была принята XI Генеральной конференцией по мерам и весам в 1960г. В нашей стране она действует с 01.01.1982г. в соответствии с ГОСТ 8.417-81 «ГСИ. Единицы физических величин».

Е

Совокупность ФВ, образованная в соответствии с принципами, когда одни величины принимаются за независимые (основные), а другие являются их функциями (производными), называются системой физических величин.

диница физической величины – это ФВ фиксированного размера, которой условно присвоено числовое значение, равное единице, и которое применяется для количественного выражения однородных ФВ. Размер единиц ФВ устанавливается путем их законодательно закрепленного определения метрологическими органами государства. При построении системы физических величин выбираются несколько базовых – основных физических величин, которые можно считать не зависимыми от других ФВ этой системы. Все остальные ФВ называются производными: они могут быть выражены через основные с помощью уравнения размерности dim. – степенного многочлена, отражающего связь данной величины с основной ФВ.

Размерность:

dim. = (2.5.)

где L,M,T,I, …условные обозначения размерности основных величин данной системы (таблица 2.1);

,,,…целые или дробные, положительные или отрицательные вещественные числа.

Коэффициент пропорциональности в этом выражении равен единице.

Понятие размерности широко используется:

• Для перевода единиц из данной системы в другую;

• Для проверки правильности сложных расчетных формул (должна быть одинаковая размерность левой и правой частей уравнения);

• В теории физического подобия.

В качестве основных единиц в системе СИ приняты: метр, килограмм, секунда, ампер, кельвин, моль и канделла (таблица 2.1).

Таблица 2.1

ВЕЛИЧИНА			ЕДИНИЦА
				Обозначения
Наименование	Размерность	Обозначение	Наименование	Русское	Международное
Длина	L	l	метр	м	m
Масса	M	m	килограмм	кг	kg
Время	T	t	секунда	С	s
Сила электрического тока	I	I	ампер	А	A
Термодинамическая температура	θ	T	кельвин	К	K
Количество вещества	N	n, v	моль	моль	mol
Сила света	J	J	канделла	кд	cd

К основным единицам добавлены две дополнительные ФВ: плоский угол (радиан) и телесный угол (стерадиан).

Производные единицы системы СИ могут иметь собственные названия, например: частота – «герц» (размерность Т^-1 ); сила – «ньютон» (размерность LMТ^-2); электрическое напряжение – «вольт» (размерность L²MT^-3 I^-1) и т.д.

Пример: Определение размерности производных величин.

1. Установим единицу силы в системе СИ. На основании 2^го закона Ньютона имеем уравнение:

F=ma = ; где: m – масса, а – ускорение, l – путь (длина), t – время.

Отсюда размерность силы:

[F] = MLT^-2

Определим размерность работы (энергии).

Работа А = FlCos (F,^l ), [F]= LMT^{-2 ,} [A]= [F][l] = L²MT^-2

Аналогичным образом могут быть найдены размерности других производных величин.