2 Этап: Планирование эксперимента:

Физическая основа эксперимента.

Архимед уже знал (сам установил), что масса тела, погруженного в воду, уменьшается пропорционально его весу.

Формирование модели эксперимента и определения измеряемой величины.

Чистое золото теряет в воде 20-ю долю своей массы, а серебро – 10-ю долю.

Если бы венец был из чистого золота, то при весе 10 кг в воде он весил бы 9,5 кг (20-я доля равна 0,5 кг); если бы венец был из чистого серебра, в воде он бы весил 9,0 кг.

Таким образом, в качестве модели эксперимента используется факт: при добавлении в изделие серебра его вес в воде уменьшается пропорционально его количеству. Следовательно, нужно произвести взвешивание исследуемого объекта (венца) в воде и в воздухе, с целью определения реальной потери его массы.

Вывод уравнения измерения.

Если обозначить массу золота в изделии m₁, а массу серебра - m_2, то потерю массы изделия в воде m можно найти из соотношения:

(1)

Если в изделии действительно будет содержаться 8 кг Аu и 2 кг Ag, то потеря должна составлять:

- масса короны, погруженной в воду

Таким образом, необходимо определить вес изделия в воде и на основании уравнения (1) определить реальное соотношение Аu и Ag в изделии.

Составим систему уравнений:

m ₁ + m₂ = 10 (кг)

m₁ + 2m₂ = 20 m (кг)

Отсюда:

m₂ = (20 m – 10) (кг)

m₁ = (10 – m₂) (кг)

4. Выбор метода эксперимента и средства измерения.

В качестве СИ можно взять пружинные весы, а в качестве метода измерения – метод сравнения .

С помощью одного измерительного прибора П (пружинных весов), нужно произвести измерения массы изделия в воздухе и в воде:

m_возд; m_вода.

5. Требования к точности эксперимента.

Во времена Архимеда такая задача не стояла, но мы можем задаться необходимой точностью эксперимента.

Необходимо обеспечить относительную погрешность  2%.

6. Выбор СИ по метрологическим характеристикам.

Пружинные весы должны иметь шкалу с предельным значением Р_к = 10 кг и приведенной погрешностью  = 1,5. В этом случае погрешность измерения будет равна:

;

При измерении веса короны в воздухе , тогда , .

Таким образом, значение истинного веса короны в воздухе лежит в пределах доверительного интервала:

.

При измерении веса короны в воде (если корона изготовлена из чистого серебра – крайний случай), тогда .

Таким образом, погрешность измерения в обоих случаях не будет превышать 2%, что удовлетворяет условиям задачи.

8. Обеспечение требуемых условий эксперимента.

Измерения должны проводиться при условиях (давление воздуха, температура, влажность), задаваемых техническими характеристиками весов.

3 Этап. Измерительный эксперимент.

При проведении эксперимента в нормальных условиях получен результат:

Измерение массы изделия в воздухе:

m_возд = 9.9 кг

Измерение массы изделия в воде:

m_вода = 9,15 кг

4 этап. Обработка экспериментальных данных.

Снижение массы изделия в воде составило

 m_х = 0,75 кг.

По расчету (при m_Au = 8 кг и m_Ag = 2 кг) снижение массы изделия должно быть:

 m_р = 0,6 кг.

Значит в изделии доля серебра выше, чем должна быть.

1. Расчет:

m₂ = 200,75-9.9=5.1 кг;

m₁ = 9.9-5.1 = 4.8 кг

Таким образом, изделие содержит 4.8 кг золота и 5.1 кг серебра и, следовательно, ювелир похитил 3.2 кг золота (заменив их 3.2 кг серебра).

2 . Анализ реальной погрешности измерения и запись результата измерения.

, , .

Выводы:

1.Таким образом, погрешность измерения веса короны в воздухе не превышает заданную предельно допустимую погрешность (2%).

2. Ювелир обманул царя, присвоив 3.2 кг золота, заменив эту массу серебром.

Это пример простейшей МВИ, в этом эксперименте не учитываются многочисленные факторы, влияющие на погрешность эксперимента. При заданной достаточно большой погрешности (2%) в этом не было необходимости. Но если бы от экспериментатора потребовали существенного снижения погрешности измерений, МВИ существенно бы изменилась (пример эталонного взвешивания Д.И. Менделеевым).

В качестве одной из составляющих суммарной погрешности измерений является неучтенная систематическая погрешность. В нашем опыте, проведенном во времена Архимеда о многих составляющих погрешности, особенно систематических погрешностях, просто не знали или не считали их важными. Например, удельный вес золота брался равным 200 ед. (точное значение – 196,97), а серебра – 100 ед. (точное значение – 107, 87).

Подсчитаем неучтенную систематическую погрешность от этого фактора.

Пусть ювелир будет абсолютно честным человеком.

Подставим в формулу (1) истинные значения удельного веса золота и серебра, известные нам, но не известные даже Архимеду. При этом будем считать, что исходное количество золота (8кг) и серебра (2кг) измерены точно. (Архимед уже умел достаточно точно измерять веса). Получим результат:

Он отличается от рассчитанного выше на 0.01кг. Сразу отметим, что столь малая систематическая ошибка вызвана тем, что удельный вес золота Архимед брал чуть выше нормы (200), а серебра – чуть ниже (100). В результате произошла небольшая компенсация систематических ошибок.

Пусть в результате опыта Архимед получил именно это число – о.59кг. Подставим это число в формулы (2) и (3):

Результат АРХИМЕДА БЫ УДИВИЛ: ЮВЕЛИР ДОБАВИЛ В КОРОНУ СВОЕГО ЗОЛОТА 200гр, а серебра – уменьшил на это же количество.

А теперь возьмем вариант такой: ювелир был очень высоким профессионалом и как алхимик владел точными знаниями удельных весов драгоценных металлов (которые он конечно же держал в секрете). Ему ничто не стоило добиться такого соотношения золота и серебра в короне, чтобы разница ее весов в воздухе и воде была точно равна ожидаемой Архимедом, т.е. 0.6кг.

Сколько золота оставил ювелир в короне при этом?

кг, отсюда ; кг.

Таким образом, ювелир спокойно может присвоить 201 грамм золота, не вызывая подозрения у великого Архимеда, а значит и царя!

Вот что такое грамотная МВИ!