7.1.2 Распределение Пуассона

Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна р. Для определения вероятности k появлений события в этих испытаниях используют формулу Бернулли. Если же n велико, то пользуются асимптотической формулой Лапласа. Однако эта формула непригодна, если вероятность события мала ( ). В этих случаях (n велико, р мало) прибегают к асимптотической формуле Пуассона.

Итак, поставим перед собой задачу найти вероятность того, что при очень большом числе испытаний, в каждом из которых вероятность события очень мала, событие наступит ровно k раз. Сделаем важное допущение: произведение сохраняет постоянное значение, а именно . Это означает, что среднее число появлений события в различных сериях испытаний, т. е. при различных значениях n, остается неизменным.

Таким образом, получаем формулу:

, (27)

где - общее число испытаний;

- число появлений события А;

- вероятность появления события А в каждом испытании;

- постоянная величина.

Эта формула выражает закон распределения Пуассона вероятностей массовых (n велико) и редких (р мало) событий.

Замечание. Имеются специальные таблицы, пользуясь которыми можно найти зная k и .

Пример: Учебник издан тиражом 100 000 экземпляров. Вероятность того, что учебник сброшюрован неправильно, равна 0,0001. Найти вероятность того, что тираж содержит ровно 5 бракованных книг.

Решение: По условию n = 100 000, k = 5, p = 0,0001. События, состоящие в том, что книги сброшюрованы неправильно, независимы, следовательно имеем схему Бернулли, а т.к. n достаточно велико, а p крайне мало, то воспользуемся распределением Пуассона.

Найдём λ: λ = n∙p = 100 000 ∙ 0,0001 = 10

Искомая вероятность: = 0,0375

Так же для нахождения вероятности можно воспользоваться специальными таблицами (приложение Д).

7.1.3 Геометрическое распределение вероятностей

Пусть производятся независимые испытания, в каждом из которых вероятность появления события А равна р. Следовательно вероятность непоявления события А q=1-р. Испытания заканчиваются, как только появится событие А. Таким образом, если событие А появилось в k-ом испытании, то в предшествующих k-1 испытаниях оно не появилось.

Вероятность этого сложного события вычисляется по формуле:

, (28)

где - номер испытания в котором появилось событие А;

- вероятность появления события А в каждом испытании;

- вероятность не появления события А в каждом испытании.

Полагая k=1, 2, 3,… получим геометрическую прогрессию с первым членом р и знаменателем q. По этой причине данное распределение называют геометрическим распределением.

Математическое ожидание случайной величины Х, имеющей геометрическое распределение с параметром р рассчитывается по формуле:

, (29)

где - вероятность появления события А в каждом испытании.

Дисперсия случайной величины Х, имеющей геометрическое распределение с параметром р рассчитывается по формуле:

, (30)

где - вероятность появления события А в каждом испытании;

- вероятность не появления события А в каждом испытании.

Пример: После ответа студента на вопросы экзаменационного билета экзаменатор задаёт студенту дополнительные вопросы до тех пор, пока студент не ответит на заданный вопрос. Вероятность того, что студент ответит на любой заданный вопрос 0,9. Необходимо составить закон распределения ДСВ Х – числа дополнительных вопросов, которые задаст преподаватель студенту и найти наиболее вероятное число заданных студенту вопросов.

Решение: ДВС Х – число заданных студенту вопросов может принимать следующие значения: 1, 2, 3, …, k, … . Найдём вероятности этих значений.

Если p = 0,9 – вероятность того, что студент ответит на вопрос преподавателя, тогда q = 1 – p = 1 – 0,9 = 0,1 – вероятность того, что студент не ответит на заданный вопрос.

1. х₁ = 1 – экзаменатор задал только 1 вопрос, тогда по формуле геометрического распределения найдём вероятность этого события: Р(Х=1)=0,1

2. х₂ = 2 – экзаменатор задал только 2 вопроса, тогда по формуле геометрического распределения найдём вероятность этого события: Р(Х=2)=0,9∙0,1=0,09

3. х₃ = 3 – экзаменатор задал только 3 вопроса, тогда по формуле геометрического распределения найдём вероятность этого события: Р(Х=1)=0,9²∙0,1=0,081

и т.д., следовательно = 0,9^k-1 ∙ 0,1

Составим закон распределения:

x	1	2	3	…	k	…
p	0,1	0,09	0,081	…	0,9k-1 ∙ 0,1	…

Наиболее вероятное число заданных преподавателем вопросов, как следует из закона распределения, равно 1.