8.1.2 Свойства плотности распределения

1. Плотность распределения – неотрицательная функция .

2. Несобственный интеграл от плотности распределения в пределах от -  до  равен единице

Пример 1. Случайная величина подчинена закону распределения с плотностью:

Требуется найти коэффициент а, построить график функции плотности распределения, определить вероятность того, что случайная величина попадет в интервал от 0 до .

Решение: Построим график плотности распределения (см. рис.7):

Рис. 7.

Для нахождения коэффициента а воспользуемся свойством .

Находим вероятность попадания случайной величины в заданный интервал.

Пример 2. Задана непрерывная случайная величина х своей функцией распределения f(x).

Требуется определить коэффициент А, найти функцию распределения, построить графики функции распределения и плотности распределения, определить вероятность того, что случайная величина х попадет в интервал .

Решение: Найдем коэффициент А.

Найдем функцию распределения:

1. На участке :

2. На участке

3. На участке

Итого:

Построим график плотности распределения:

f(x)

Рис. 8

Построим график функции распределения:

F(x)

Рис.9

Найдем вероятность попадания случайной величины в интервал .

Ту же самую вероятность можно искать и другим способом:

8.1.3 Числовые характеристики непрерывных случайных величин

Пусть непрерывная случайная величина Х задана функцией распределения f(x). Допустим, что все возможные значения случайной величины принадлежат отрезку [a,b].

Математическим ожиданием непрерывной случайной величины Х, возможные значения которой принадлежат отрезку [a,b], называется определенный интеграл

(39)

Если возможные значения случайной величины рассматриваются на всей числовой оси, то математическое ожидание находится по формуле:

(40)

Дисперсией непрерывной случайной величины называется математическое ожидание квадрата ее отклонения.

(41)

По аналогии с дисперсией дискретной случайной величины, для практического вычисления дисперсии используется формула:

(42)

Средним квадратичным отклонением называется квадратный корень из дисперсии.

(43)

Модой М₀ дискретной случайной величины называется ее наиболее вероятное значение. Для непрерывной случайной величины мода – такое значение случайной величины, при которой плотность распределения имеет максимум.

(44)

Если многоугольник распределения для дискретной случайной величины или кривая распределения для непрерывной случайной величины имеет два или несколько максимумов, то такое распределение называется двухмодальным или многомодальным.

Если распределение имеет минимум, но не имеет максимума, то оно называется антимодальным.

Медианой M_D случайной величины Х называется такое ее значение, относительно которого равновероятно получение большего или меньшего значения случайной величины.

(45)

(46)

Геометрически медиана – абсцисса точки, в которой площадь, ограниченная кривой распределения делится пополам.

Отметим, что если распределение одномодальное, то мода и медиана совпадают с математическим ожиданием.

Пример. Для примера 1 определить математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х.