31. Билет 14

ЧИСЛО е КАК ПРЕДЕЛ ЧИСЛОВОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

Доказать:

Предел lim (1+1/n)ⁿ=e

Доказательство:

{(1+1/n)ⁿ}^∞_n=1 = {a_n}^∞_n=1

Покажем, что {an} – возрастающая последовательность.

Покажем, что для любого n : a_n < a_n+1

Следовательно a_n <= a_n+1

Покажем теперь, что последовательность a_n — ограниченная.

Для этого учтём, что 1/n! <= 1/2n-1

Значит, по теории, существует предел.

Lim (1+1/n)ⁿ=e=2,718281

32. Билет 15

ПРЕДЕЛ ОГРАНИЧЕННОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ, ВСЕ ПОДПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ КОТОРОЙ СХОДЯТСЯ

Теорема

Пусть последовательность {a_n} является ограниченной, и пусть все её сходящиеся подпоследовательности сходятся к одному и тому же пределу g. Тогда существует предел последовательности {a_n}, и он равен g.

Доказательство:

Пусть g не предел последовательности {a_n}. Тогда не для всякого ε > 0 существует k из N такое, что при любом n > k выполнено : |a_n – g| < ε.

Это равносильно : существует ε такое, что при любом k существует n > k, для которого |a_n – g| >= ε

И теперь покажем, что для этого ε > 0 существует {a_mn} такая, что при любом n |a_mn - g| >= ε

Пусть k=1 найдётся m1 > 1 такое, что |a_m1 – g| >= ε

Пусть k=m1 найдётся m2 > m1 такое, что |a_m2 – g| >= ε

Так же найдётся m3 > m2, m4 > m3 и т. д.

Тем самым мы построим подпоследовательность {a_mn} такую, что для любого n будет выполнено :

|a_mn - g| >= ε. При этом {a_mn} является подпоследовательностью {a_n}, а последовательность {a_n}, по условию, ограниченная. Тогда {a_mn} тоже ограниченная.

Следовательно, по теореме Больцано-Вейерштрасса, она содержит сходящуюся подпоследовательность {a_mrn}, которая, в свою очередь, тоже является подпоследовательностью последовательности {a_n}. А тогда, по условию теоремы, lim {a_mrn}=g.

Номера m_r1, m_r2, m_r3 … выбраны из номеров m1, m2 , m3 … Но тогда в силу неравенства :

|a_mn - g| >= ε мы так же получим, что для любого n |a_mrn – g| >= ε. Но это противоречит равенству :

lim {a_mrn}=g. Следовательно, исходное предположение неверно, и lim {a_n} = g.

Следствие :

Любая расходящаяся последовательность содержит по крайней мере две подпоследовательности, сходящиеся к разным пределам. Пример : {(-1)ⁿ}

33. Билет 16

ПРИНЦИП СХОДИМОСТИ БОЛЬЦАНО-КОШИ

Теорема

Для того, чтобы последовательность {an} сходилась, необходимо и достаточно, чтобы для любого ε > 0 существовало такое r из N, что при любом n > r выполнялось : |an – ar| < ε.

Доказательство:

1. Необходимость

Пусть существует lim {an} = g. Тогда при любом ε > 0 существует r такое, что при любом n >= r выполнено : |an – g| < ε/2. То есть : |ar – g| < ε/2 в частности.

И для любого n > r выполнено : |an – g| < ε/2

Рассмотрим следующее : |an – ar| < ε

| (an – g) + (g – ar) | <= |an – g| + |ar – g| <= ε