Билет 44
КЛАССИФИКАЦИЯ РАЗРЫВОВ ФУНКЦИИ
Определение
Функция f(x), которая не является непрерывной в точке {a}, называется разрывной в этой точке. А {a} – точкой разрыва функции f(x).
Пусть f(x) определена в [α,β], за исключением {a} из (α,β). Тогда если {a} — точка разрыва функции, то возможны следующие случаи :
{a} – точка устранимого разрыва
{a} – точка разрыва I рода (= функция имеет скачок)
{a} – точка разрыва II рода
Аналогичная терминология используется, когда a = α или β
И тогда говорят, например, об устранимом разрыве слева и справа в {a}
Билет 45
ТОЧКИ РАЗРЫВОВ МОНОТОННЫХ ФУНКЦИЙ
Теорема
Пусть f(x) определена и монотонна на [a,b]. Тогда существуют левосторонний и правосторонний пределы в каждой внутренней точке из [a,b]. И существуют левосторонний предел в {b}, и правосторонний в {a}.
Доказательство:
Иными словами, нам надо доказать, что 1) существует правосторонний предел в {c} : a<=c<b 2) существует левосторонний предел в {c} : a < c <= b
Итак, покажем 1)
Рассмотрим множество {f(x)} на множестве Х из (c,b]
множество Х не пустое, так как c < b
Кроме того, это множество ограничено снизу, так как f(x) , например, не убывающая.
В силу не убывания функции можем написать : f(c) <= f(b)
Следовательно, f(c) является нижней гранью этого множества значений множества {f(x)}
Тогда по основной теореме, существует inf этого множества, при этом f(c) <= inf <= f(x)
Пусть γ = inf.
И покажем теперь, что γ = lim x→c+0 f(x)
По определению inf, для любого ε > 0 существует δ > 0 такое, что f(c+δ) < γ+ε
И тогда для любого x из (c, c+δ) выполнено : f(x) < γ+ε
Но с другой стороны, для этих же значений х выполнено : γ <= f(x)
Тогда для любого x из (c, c+δ) выполнено :
γ <= f(x) < γ+ε
Следовательно, существует lim x→c+0 f(x)=γ
Теорема
Пусть f(x) определена и монотонна на [a,b]. Тогда она имеет на [a,b] только разрывы 1 рода
Доказательство:
В предыдущей теореме мы показали. Что такая функция имеет конечные левосторонний и правосторонний пределы в каждой внутренней точке сегмента [a,b]. И имеет конечный правосторонний предел в {a} и конечный левосторонний в точке {b}. А тогда, по определению, её разрывы могут быть только 1 рода.
Следствие
Пусть f(x) определена и монотонна на [a,b]. Тогда она может иметь не более, чем счётное множество точек разрыва.
Доказательство:
Эти разрывы (по теореме) могут быть только 1 рода.
Пусть {x} – одна из точек разрыва из (a,b)
Тогда, если f(x), например, неубывающая, то выполнено : f(x+0) > f(x-0) ≈ lim справа > lim слева
Но мы знаем, что каковы бы ни были 2 вещественных числа, между ними всегда можно поставить рациональное число r. Следовательно, любую точка разрыва {x} можно сопоставить с рациональным число r(x) так, что выполняется : f(x+0) > r(x) > f(x-0)
Следовательно, каждой точке разрыва мы сопоставили рациональное число r(x).
Функция f(x), по условию, неубывающая.
Следовательно, если x1 и x2 – её точки разрыва и x1 < x2, то тогда выполнено : f(x1+0) < f(x2+0)
Следовательно r(x1) < r(x2)
Количество точек разрыва этой функции составляет подмножество (на сегменте) множества рациональных чисел на сегменте. Следовательно это множество не более, чем счётно.