2. Билет 2

МНОЖЕСТВО ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ, АКСИОМЫ

Множеством вещественных чисел называется называется совокупность объектов, которые удовлетворяют 17-ти аксиомам. Эти аксиомы называются аксиомами вещественных чисел.

Аксиомы вещественных чисел:

1)Правило упорядочения

Существует правило, которое позволяет установить соответствие для любых двух чисел а и b из R каким знаком <,>,= эти объекты связаны.

2)Правило сложения

Существует правло, которое позволяет любым двум объектам a и b из R поставить в соответствие число с из R так, что a+b=c

3)Правило умножения

Существует правило, которое каждым двум элементам а и b из R ставит в соответствие число с так, что а*b=c.

4)Правило упорядочения удовлетворяет следующим свойствам:

если а>b и b<c, то a>c (свойство транзитивности знака >)

если а=b и b=c, то a=c (свойство транзитивности знака =)

Правило сложения обладает следующими 4 свойствами:

5)a+b=b+a (коммутативность сложения)

6)(a+b)+c=a+(b+c) (ассоциативность сложения)

7)существует объект ноль такой, что для любого объекта а из R а+0=а

8)для любого объекта а из R существует противоположный объект a1 такой, что а+а₁=0

Операция умножения обладает следующими 4 свойствами:

9)a*b=b*a (коммутативность умножения)

10)(a*b)*c=a*(b*c) (ассоциативность сложения)

11)существует объект единица такой, что для любого а из R a*1=а

12)для любого объекта а из R существует обратный объект а₁ такой, что а*а₁=1

Следующие 2 свойства связывают операцию упорядочивания и операции сложения и умножения.

13)если а>b, то a+c>b+c

14)если a>b и c>0, то a*c>b*c

Правила сложения и умножения связаны следующим свойством.

15)(а+b)*c=a*c+b*c (свойство дистрибутивности)

16)Аксиома Архимеда

каков бы ни был объект а из R, всегда можно взять единицу слагаемым столько раз, что эта сумма превзойдёт а. Т.е n*1>a, где n принадлежит N.

17)Аксиома полноты

Множество вещественных чисел является полным относительно правил упорядочивания, сложения, умножения и остальных 16 свойств.

3. Билет 3

КОНЕЧНЫЕ И БЕСКОНЕЧНЫЕ МНОЖЕСТВА. СЧЁТНЫЕ МНОЖЕСТВА, ИХ СВОЙТСВА.

Множества, содержащие конечное число элементов, называю конечными.

Однако, существуют множества, количество элементов которых, нельзя выразить никаким натуральным числом. Такими множества называются бесконечными.

Множество называется счётным, если можно установить взаимно однозначное соответствие между элементами этого множества и множества N. Иными словами, если элементы этого множества можно представить в виде бесконечной последовательности. а₁, а₂, а₃ … а_n … {a_n}^∞_n=1 Т.е когда мы можем пронумеровать элементы множества.

Примеры счётных множеств:

1. множество целых чисел

Z : 0, -1, 1, -2, 2 …

N: 1, 2, 3, 4, 5 …

Формула: если z >= 0, то n=2z+1 ; если z < 0, то n=2|z|

2. множество положительных чётных чисел

k = 2n

3. множество всех рациональных чисел

любое рациональное число а можно представить в виде несократимой дроби p/q. Каждому а будет соответствовать число |p|+q, которое называют «высотой» числа. Причём каждой высоте числа будет соответствовать конечное число элементов. Расположим числа а в порядке возрастания высот и пронумеруем их. Эти мы установим взаимно однозначное соответствие между рациональными числами и множеством N.

Бесконечное множество, которое не является счётным множеством, называется несчётным множеством.

Свойства счётных множеств:

1. Любое подмножество счётного множества конечно или счётно.

Доказательство:

Пусть А — счётное множество, т.е А={а₁, а₂, а₃ …}

Пусть В принадлежит А. Выделим те элементы А, которые принадлежат В. Т.е В={b₁, b_2, b₃ …}

Если среди номеров n₁, n₂, n₃ … существует наибольший номер, то В — конечное множество, если нет, то В — счётное множество.

2. Сумма (объединение) любого конечного или счётного числа множеств — это счётное множество.

Доказательство:

Пусть А₁, А₂, … - это счётные множества. Можно считать, что они не пересекаются. Если это не так, мы можем рассмотреть множества А₁, А₁\A₂, A₃\(A₁UA₂) … Каждое из них не более, чем счётно. А их сумма совпадает с суммой исходных множеств.

{An}^∞_n=1 запишем систему этих множеств

А1 : а₁₁, a₁₂, a₁₃, a₁₄ … a_1n …

A2 : a₂₁, a₂₂, a₂₃, … a_2n …

A3 : a₃₁, a₃₂, a₃₃, … a_3n …

…

An : a_n1, a_n2, a_n3, … a_nn …

…

Теперь пронумеруем элементы этой таблицы двигаясь по диагоналям (как на рисунке). Установлено соответствие между {A_n}^∞_n=1 и множеством N. Следовательно, {A_n}^∞_n=1 счётное множество.

3. Из любого бесконечного множества можно выделить счётное подмножество.

Доказательство:

Пусть М — бесконечное множество. Выберем в множестве М произвольный элемент а₁. М — бесконечное множество, следовательно, обязательно найдётся а₂, принадлежащее М, такое, что а₂<>a₁. Также найдётся а₃, принадлежащее М такое, что а₃<>a₁, a₃<>a₂. И так далее. Этот процесс не может остановиться в силу бесконечности множества М. Следовательно, А={а₁, а₂, а₃ …} - счётное множество.

Следствие.

Счётные множества являются самыми маленькими среди бесконечных множеств.