84. Билет 37

ВЗАИМНО ОДНОЗНАЧНАЯ ФУНКЦИЯ. ОБРАТНАЯ ФУНКЦИЯ.

ТЕОРЕМА О НЕПРЕРЫВНОСТИ ОБРАТНОЙ ФУНКЦИИ.

Обратные функции

Пусть существует f(x). Х — область определения, Y – область значений.

A принадлежит Х, В принадлежит Y

f(A) = {y из Y такой, что y=f(x), x из А} — образ множества А

f ^-1 (B) = {x из Х такой, что f(x) принадлежит В} — прообраз множества В

Возможны следующие случаи:

1. любому х из Х → единственный у из Y любому y из Y → единственный х из Х

2. любому x из X → единственный Y любому y из Y → множество х-ов

Определение

Пусть любому у из Y соответствует единственный x из Х.

То есть f ^-1 (f(x)) = x. Тогда f(x) – взаимно однозначная функция на множестве Х

Для любой однозначной функции прямые, параллельные оси ординат, пересекают её в одной точке. Для любой взаимно однозначной функции прямые, параллельные и оси ординат, и оси абсцисс, пересекают график этой функции в единственной точке.

Определение

Пусть функция f(x) — взаимно однозначная функция с областью определения X и областью значений Y. Рассмотрим функцию f ^-1 (y) с областью определения Y и областью значений Х. Эта функция любому у из Y ставит в соответствие один единственный элемент f ^-1 (y) из Х. Тогда функция x = f ^-1 (y) называется функцией, обратной к функции f(x).

Таким образом, не каждая функция имеет обратную

Теорема

Функция f(x) непрерывная и взаимно однозначная на сегменте [a,b]. Тогда f ^-1 (y) является непрерывной на сегменте [m, M], где m = inf {f(x)}, M = sup {f(x)} при x принадлежащем [a,b].

Доказательство :

по 1 следствию из теоремы Дарбу мы знаем, что функция f(x) принимает на [a,b] все значения из сегмента [m,M].

Пусть С принадлежит [m,M]. Тогда C = f(d), где d принадлежит [a,b]

Пусть C = lim y_n при n → ∞, где : m <= yn <= M при любых n из N.

Теперь нам надо доказать, что предел lim f ^-1 (y_n) = f ^-1 (c)

x_n = f ^-1 (y_n) Следовательно, lim x_n = d = f ^-1 (c)

y_n → c следовательно, x_n → d

Если все сходящие подпоследовательности ограниченной последовательности сходятся к некоторому пределу из R, то и сама эта последовательность сходится к тому же самому пределу.

{x_n} – ограниченная, т. к. {x_n} принадлежит [a,b]

Следовательно, нам достаточно показать, что любая сходящаяся подпоследовательность последовательности {x_n} сходится к d.

Предположим, что это не так.

То есть lim {x_nk} = d' Покажем, что d = d'

По условию, f(x) непрерывная функция

Следовательно, lim f{x_nk}= f(d')

Но с другой стороны lim f{x_nk} = lim f{x_n} = f(d)

Следовательно, f(d') = f(d) и функция f(x) взаимно однозначная. Тогда d'=d

Теорема доказана.

85. Билет 38

ТЕОРЕМА О СТРОГОЙ МОНОТОННОСТИ НЕПРЕРЫВНОЙ

ВЗАИМНО ОДНОЗНАЧНОЙ ФУНКЦИИ

Теорема

Пусть f(x) непрерывная и взаимно однозначная на сегменте [a,b]. Тогда f(x) строго монотонная на [a,b].

Доказательство

По условию, f(x) взаимно однозначная.

Следовательно, f(a) ≠ f(b)

Возможны два случая : a) f(a) < f(b) б) f(a) < f(b)

Рассмотрим случай f(a) < f(b)

Тогда мы должны показать, что функция f(x) строго возрастающая на [a,b].

Иначе говоря : для любых х и х' из [a,b] таких, что х < x' выполнено : f(x) < f(x')

Покажем сначала, что если a <= x <= b & f(a) < f(b), то выполнено : f(a) <= f(x) <= f(b)

Доказательство от противного.

Пусть f(a) > f(x). Тогда получаем : f(x) < f(a) < f(b). Тогда, по теореме Дарбу, найдётся x'' из (x,b) такой, для которого выполнено : f(x'') = f(a), но очевидно, что x'' ≠ a.

Следовательно, это противоречит взаимной однозначности функции f(x).

Пусть f(b) < f(x). Тогда получаем : f(a) < f(b) < f(x). Тогда, по теореме Дарбу, найдётся x''' из (a,x) такой, для которого выполнено : f(x''') = f(b), но очевидно, что x''' ≠ b.

Следовательно, это противоречит взаимной однозначности функции f(x).

Получаем : f(a) <= f(x) <= f(b). Воспользуемся этим.

Пусть x и x' принадлежат [a,b] и для них выполнено следующее :

Тогда по доказанному, f(x) <= f(x') <= f(b)

Тогда, если x < x', то f(x) < f(x')

Это следует из взаимной однозначности функции f(x).

Действительно, по определению такой функции, если x ≠ x', то f(x) ≠ f(x')