10. Билет 10

ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ МОДУЛЕЙ ЧИСЕЛ: СВОЙСТВА ПРЕДЕЛОВ, ОБУСЛОВЛЕННЫЕ НЕРАВЕНСТВАМИ: ПРИНЦИП СЖАТОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

1. Пусть существует lim a_n. Тогда существует lim |a_n| = |lim a_n|

Доказательство:

для любого ε > 0 существует k из N такое, что при любом n > k выполнено:

|a_n – g| < ε или |g – a_n| < ε

Преобразуем:

|a_n| - |g| <= |a_n – g| < ε

|g| - |a_n| <= |a_n – g| < ε

Следовательно : | |a_n| - |g| | < ε при любых n > k

То есть lim |a_n| = |g| = |lim a_n|

2. Пусть существует lim c_n и при любом n (с_n) >= 0 Тогда lim c_n >= 0

Доказательство:

Предположим, что это не так.

Допустим, что lim c_n = h < 0

Тогда пусть ε = -h >0

Тогда : найдётся k из N такое, что при любых n > k выполнено: |c_n – h| < ε = -h

Следовательно : c_n – h < -h → c_n < 0, что противоречит условию

3. Пусть существует lim a_n и lim b_n. И пусть при любом n a_n <= b_n. Тогда lim a_n <= lim b_n.

Доказательство:

(используем 2 свойство)

По условию, при любом n a_n <= b_n. Следовательно, при любом n (b_n – a_n) >= 0.

Тогда lim(b_n – a_n) >= 0. Следовательно, lim a_n <= lim b_n.

4. Пусть существует lim a_n и lim b_n и пусть при любом n (a_n < b_n)

Тогда не следует что lim a_n < lim b_n

Как пример : lim 1/n = 0 , но 1/n > 0.

5. Принцип сжатой переменной

Пусть существует lim a_n и lim b_n, и lim a_n = lim b_n. И при любом n выполнено : a_n <= c_n <= b_n

Тогда существует lim c_n и справедливо следующее : lim a_n = lim c_n = lim b_n

Доказательство:

(используя определение предела)

По условию, для любого ε > 0 существует k из N такое, что для любого n > k выполнено одновременно:

|a_n – g| < ε и |b_n – h| < ε при этом h=g

Тогда (a_n – g > - ε) и (b_n – g < ε)

По условию, при любом n выполнено : a_n <= c_n <= b_n

a_n – g <= c_n – g <= b_n – g

-ε <= c_n – g <= ε

Следовательно : lim c_n = g

6. Пусть существует lim |a_n| = 0. Тогда существует lim a_n = 0.

Доказательство :

(используя 5 свойство)

Для любого n из N верно следующее : -|a_n| <= a_n <= |a_n|

Следовательно lim a_n = 0 (по принципу сжатой переменной)

11. Билет 11

ПОДПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ. ПРЕДЕЛ СХОДЯЩЕЙСЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ.

Определение

Пусть {a_n}̽^∞_n=1 – обычная числовая последовательность. И она имеет строго возрастающую последовательность номеров : m1 < m2 < … < m_n.

Тогда последовательность b1=am1, b2=am2, … ,b_n=am_n называется подпоследовательностью последовательности {a_n}^∞_n=1

Обозначение : {a_mn}^∞_n=1

Лемма.

Пусть {a_mn} – подпоследовательность последовательности a_n. Тогда для любого n (m_n >= n).

Доказательство:

{a_n} = a1, a2, a3, a4 … an …

{a_mn} = am1 (=a1), am2 (=a3) …

То есть для n=1 это очевидно.

Далее доказывается методом индукции :

Теорема.

Любая бесконечная подпоследовательность сходящейся последовательности сходится к тому же пределу.

Доказательство:

Пусть существует lim a_n = g. Тогда при любом ε > 0 существует такой k из N, что при любом n > k выполняется : |a_n – g| < ε. Тогда (по лемме) при любых n > k выполняется m_n >= n > k.

Тогда при любом ε существует k из N такой, что при любом n > k выполняется :

|a_mn – g| < ε → lim a_mn = g